[论文解读] Superconducting phase in the BCS model with imaginary magnetic field

Yohei Kashima|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 23被引用 3

一句话总结

该论文通过格拉斯曼高斯积分形式和双尺度积分方案，严格证明了在引入虚数外部磁场的约化四次BCS模型中，自发U(1)对称性自发破缺（SSB）和非对角长程序（ODLRO）的存在。关键结果表明，即使在高温、弱耦合区域——传统BCS模型无法实现SSB与ODLRO的区域——通过引入对自旋-z算符的纯虚耦合，可使间隙方程发生改变，从而在以往不可达的参数区域内实现超导序。

ABSTRACT

We prove that in the reduced quartic BCS model with an imaginary external magnetic field a spontaneous U(1)-symmetry breaking (SSB) and an off-diagonal long range order (ODLRO) occur. The system is defined on a hyper-cubic lattice with periodic boundary conditions at positive temperature. In the free part of the Hamiltonian we assume the nearest-neighbor hopping. The chemical potential is fixed so that the free Fermi surface does not degenerate. The term representing the interaction between electrons' spin and the imaginary external magnetic field is the z-component of the spin operator multiplied by a pure imaginary parameter. The SSB and the ODLRO are shown in the infinite-volume limit of the thermal average over the full Fermionic Fock space. The magnitude of the negative coupling constant must be larger than a certain value so that the gap equation is solvable. The gap equation is different from that of the conventional mean field BCS model because of the presence of the imaginary magnetic field. By adjusting the imaginary magnetic field this model shows the SSB and the ODLRO in high temperature, weak coupling regimes where the conventional reduced BCS model does not show these phenomena. The proof is based on Grassmann Gaussian integral formulations and a double-scale integration scheme to analytically control the formulations.

研究动机与目标

• 在约化BCS模型中，于虚数外部磁场条件下，严格建立自发U(1)对称性自发破缺（SSB）与非对角长程序（ODLRO）的存在性。
• 将超导性的数学分析从强耦合区域拓展至传统BCS理论无法表现出SSB与ODLRO的高温与弱耦合区域。
• 基于格拉斯曼积分，建立一个严格的场论框架，以控制无限体积极限下全费米子Fock空间的热平均。
• 证明引入与自旋-z算符成比例的虚磁场所项，可改变间隙方程，从而在以往不可达的参数区域中实现超导序。
• 提供格拉斯曼积分形式中修正项无限体积极限的构造性证明，确保SSB与ODLRO结果的有效性。

提出的方法

• 在具有周期性边界条件的超立方格点上构造BCS哈密顿量，并固定化学势以保证自由费米面非简并。
• 通过与自旋-z算符（Sz）的纯虚耦合引入虚数外部磁场，从而修改哈密顿量中的相互作用项。
• 采用格拉斯曼高斯积分表示法表达正则系综配分函数，从而可应用费米子路径积分技术。
• 应用双尺度积分方案，对格拉斯曼积分进行解析控制，将积分过程分为两个阶段，以处理非高斯相互作用项。
• 利用树展开与行列式界（参照Pedra-Salmhofer方法），估计耦合常数幂级数展开的收敛性。
• 引入人工参数（λ1, λ2）与Kac型正则化，以确保积分过程中的解析性与收敛性，随后取极限以恢复物理模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在约化BCS模型中，于虚数磁场条件下，严格证明自发U(1)对称性自发破缺与非对角长程序的存在？
• RQ2 引入虚数磁场项是否可使超导序存在于传统BCS模型无法表现出SSB或ODLRO的高温与弱耦合区域？
• RQ3 与传统平均场BCS模型相比，虚数磁场的存在如何改变间隙方程？
• RQ4 在此模型中，全费米子Fock空间热平均的无限体积极限是否定义良好且非平凡？
• RQ5 格拉斯曼积分形式结合双尺度积分方案，能否为该非平凡区域中的关联函数提供严格控制？

主要发现

• 在含虚数外部磁场的约化四次BCS模型的无限体积极限中，严格证明了自发U(1)对称性自发破缺（SSB）与非对角长程序（ODLRO）的存在。
• 该模型即使在高温与弱耦合区域也表现出SSB与ODLRO——这些区域传统BCS模型无法实现此类现象——其根源在于虚磁场诱导的间隙方程改变。
• 该模型中的间隙方程与标准BCS平均场方程不同，因虚磁场的引入，在有效配对相互作用中引入了非平凡的位移。
• 证明了格拉斯曼积分形式中修正项的无限体积极限存在，确保了推导SSB与ODLRO所用级数展开的收敛性。
• 结合树展开与行列式界（Pedra-Salmhofer）的双尺度积分方案，成功控制了格拉斯曼积分，从而在全Fock空间中导出非微扰结果。
• 负耦合常数的绝对值必须超过某一临界阈值，间隙方程才可求解，表明该模型中存在相变阈值。