[论文解读] Superconducting phase in the BCS model with imaginary magnetic field. II. Multi-scale infrared analysis

Yohei Kashima|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文通过格拉斯曼高斯积分的多尺度红外（IR）分析，严格证明了在含虚磁场所致的约化BCS模型中，存在自发U(1)对称性自发破缺及非对角长程序（ODLRO）。该分析在正温度下大参数区域内证明了超导序的存在，包括任意低温，同时表明尽管相互作用强度固定且与温度和场强无关，该序在零温极限下仍会消失。

ABSTRACT

We analyze the reduced BCS model with an imaginary magnetic field in a large domain of the temperature and the imaginary magnetic field. The magnitude of the attractive reduced BCS interaction is fixed to be small but independent of the temperature and the imaginary magnetic field unless the temperature is high. We impose a series of conditions on the free dispersion relation. These conditions are typically satisfied by free electron models with degenerate Fermi surface. For example, our theory applies to the model with nearest-neighbor hopping on 3 or 4-dimensional (hyper-)cubic lattice having degenerate free Fermi surface or the model with nearest-neighbor hopping on the honeycomb lattice with zero chemical potential. We prove that a spontaneous U(1)-symmetry breaking (SSB) and an off-diagonal long range order (ODLRO) occur in many areas of the parameter space. The SSB and the ODLRO are proved to occur in low temperatures arbitrarily close to zero in particular. However, it turns out that the SSB and the ODLRO are not present in the zero-temperature limit. The proof is based on Grassmann Gaussian integral formulations and a multi-scale infrared analysis of the formulations. We keep using notations and lemmas of our previous work [Y. Kashima, accepted for publication in J. Math. Sci. Univ. Tokyo, arXiv:1609.06121] implementing the double-scale integration scheme. So the multi-scale analysis this paper presents is a continuation of the previous work.

研究动机与目标

• 严格建立在虚磁场作用下约化BCS模型中自发U(1)对称性破缺（SSB）与非对角长程序（ODLRO）的存在性。
• 通过去除相互作用强度对温度与磁场的依赖性，将之独立固定，从而拓展先前结果。
• 在温度与虚磁场的大范围内分析该模型，包括任意低温。
• 证明SSB与ODLRO可延续至任意低正温度，但在零温极限下消失。
• 发展并应用基于格拉斯曼高斯形式的多尺度红外积分方案，基于先前双尺度积分方法的成果。

提出的方法

• 利用格拉斯曼高斯积分形式化约化BCS模型与虚磁场，使非厄米哈密顿量的严格分析成为可能。
• 实施具有双尺度结构的多尺度红外（IR）积分方案，以控制能量尺度间相关性的演化。
• 引入人工项以正则化积分并确保收敛性，随后通过解析延拓将其移除。
• 应用广义协方差与尺度依赖界，控制各次积分步骤中相互作用项的增长。
• 通过将协方差分解为低动量与高动量分量，分离红外贡献并控制长程序。
• 采用基于耦合参数解析性与一致有界性的严格无限体积极限程序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相互作用强度固定且与温度和场强无关的条件下，约化BCS模型在虚磁场作用下，是否在正温度下仍出现自发U(1)对称性破缺与ODLRO？
• RQ2 是否可在温度与虚磁场的大范围内（包括任意低温）严格确立超导相的存在？
• RQ3 尽管在所有正温度下均存在超导序，其在零温极限下会发生何变化？
• RQ4 多尺度红外分析结合双尺度积分如何确保在长程关联存在下格拉斯曼积分的收敛性与控制性？
• RQ5 该模型是否可严格分析，超越BCS泛函方法，特别是在吉布斯态因非厄米性而未明确定义时？

主要发现

• 在温度与虚磁场参数空间的大区域内，严格证明了自发U(1)对称性破缺与非对角长程序（ODLRO）的存在。
• 超导相在任意低正温度下持续存在，证实了该序在低温区域的稳定性。
• 尽管在所有正温度下均存在，SSB与ODLRO在零温极限下消失，表明在T=0处存在非解析行为。
• 相互作用强度独立于温度与虚磁场，克服了以往工作中相互作用必须随温度降低或场强趋近临界点而减小的关键限制。
• 多尺度红外分析通过双尺度积分方案成功控制了格拉斯曼积分，确保了收敛性，并实现了长程序的证明。
• 结果适用于物理上相关的模型，如具有简并费米面的三维/四维立方晶格最近邻跃迁模型，以及零化学势下的蜂窝晶格模型。