[论文解读] Superconformal vertex algebras in differential geometry. I

Jian Zhou|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文直接从黎曼流形、复流形、凯勒流形和超凯勒流形出发，利用顶点代数丛构造了 N=1、N=2 和 N=4 超共形顶点代数（SCVA），绕过了 sigma 模型。研究表明，在复流形上，N=2 SCVA 的 A 型和 B 型扭变的 BRST 上同调同构于 H*(M, Λ*(T*M)) 和 H*(M, Λ*(TM))，从而为 A 和 B 理论提供了数学表述，并与椭圆亏格建立了联系。

ABSTRACT

We show how to construct an N=1 superconformal vertex algebra (SCVA) from any Riemannian manifold. When the Riemannian manifold has special holonomy groups, we discuss the extended supersymmetry. When the manifold is complex or Kähler, we also generalize the construction to obtain N=2 SCVA's. We study the BRST cohomology groups of the topological vertex algebras obtained by the $A$ twist and the $B$ twist from these N=2 SCVA's. We show that for one of them, the BRST cohomologies are isomorphic to $H^*(M, Λ^*(T^*M))$ and $H^*(M, Λ^*(TM))$ respectively. This provides a mathematical formulation of the $A$ theory and $B$ theory in physics literature. The connection with elliptic genera is also discussed. Furthermore, when the manifold is hyperkähler, we generalize our constructions to obtain N=4 SCVA's. A heuristic relationship with super loop space is also discussed.

研究动机与目标

• 通过不依赖 sigma 模型的方式，直接从黎曼流形、复流形、凯勒流形和超凯勒流形出发，严格构造 N=1、N=2 和 N=4 超共形顶点代数（SCVA）。
• 通过将 A 和 B 理论的 BRST 上同调与复流形上特定微分形式的上同调群相联系，为弦理论中的 A 和 B 理论提供数学表述。
• 通过使用 SCVA 的丛而非层，推广先前基于层的构造方法，使标准微分几何技术得以应用。
• 通过环路空间的几何与半无限形式，建立所构造 SCVA 与椭圆亏格之间的联系。
• 通过超流形理论与等变局部化思想，探索顶点代数结构与超环路空间之间的启发式联系。

提出的方法

• 在流形 M 上构造超共形顶点代数丛，其纤维类型取决于 M 的几何结构（黎曼、复、凯勒、超凯勒）。
• 利用这些丛的截面空间，定义相应类型的 N=1、N=2 或 N=4 SCVA。
• 对于复流形和凯勒流形，将丛视为全纯向量丛，并引入 Dolbeault 算子，证明相应的 Dolbeault 上同调也是同类型 SCVA。
• 对 N=2 SCVA 施加 A 型和 B 型扭变，得到拓扑顶点代数，然后计算其 BRST 上同调。
• 通过环路空间复化切丛的分解，将超环路空间上的半无限形式与 M 上的顶点代数结构联系起来。
• 采用超流形形式化来建模超环路空间，其不动点集为具有余切丛结构的 M，并推导出超环路空间上半无限形式丛在该集合上的限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从任意黎曼流形构造 N=1 超共形顶点代数？
• RQ2 弦理论中 A 和 B 理论的数学结构是什么？如何在不依赖 sigma 模型的前提下进行表述？
• RQ3 在复流形 M 上，N=2 SCVA 的 A 型和 B 型扭变的 BRST 上同调如何与微分形式的上同调群相关联？
• RQ4 特殊 holonomy（如 G2、Spin(7)、Calabi-Yau）在将超对称性推广至更高 N 的构造 SCVA 中起什么作用？
• RQ5 如何利用环路空间与半无限形式的几何，将顶点代数与椭圆亏格及 K-理论联系起来？

主要发现

• 在复流形 M 上，N=2 SCVA 的 A 型扭变的 BRST 上同调同构于上同调群 H*(M, Λ*(T*M))。
• 在复流形 M 上，N=2 SCVA 的 B 型扭变的 BRST 上同调同构于上同调群 H*(M, Λ*(TM))。
• 对于具有特殊 holonomy（如 Calabi-Yau）的凯勒流形，该构造产生 N=2 SCVA，其 A 型和 B 型扭变在数学上重现了物理上的 A 和 B 理论。
• 当流形为超凯勒时，该构造可推广为 N=4 超共形顶点代数。
• 超环路空间上半无限形式丛在不动点集（M, T*M）上的限制同构于 Λ(⊕_{n≤0} t^n T*M) ⊗ S(⊕_{n<0} t^n T*M)，为顶点代数结构提供了几何模型。
• 该构造通过环路空间上的顶点代数，为椭圆亏格提供了一种新的几何方法，且与顶点代数的 K-理论存在启发式联系。