[论文解读] Superconvergence of Galerkin variational integrators

Sina Ober‐Blöbaum, Mats Vermeeren|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文证明了基于次数不超过 s 的多项式以及足够精确的积分规则的伽辽金变分积分器可实现超收敛，收敛阶为 2s。该证明利用变分法和改进的误差估计，建立了高于预期的收敛阶，将先前结果推广至一般拉格朗日系统，并通过扩展形式表明其在受迫系统中也具有更广泛的应用潜力。

ABSTRACT

We study the order of convergence of Galerkin variational integrators for ordinary differential equations. Galerkin variational integrators approximate a variational (Lagrangian) problem by restricting the space of curves to the set of polynomials of degree at most $s$ and approximating the action integral using a quadrature rule. We show that, if the quadrature rule is sufficiently accurate, the order of the integrators thus obtained is $2s$.

研究动机与目标

• 建立伽辽金变分积分器在常微分方程上的超收敛性质。
• 在足够精确的积分规则下，将已知的收敛阶从 min(s, u) 提升至 2s。
• 利用变分法和精细化误差估计，提供超收敛性的通用证明。
• 通过扩展拉格朗日形式，探讨超收敛性在受迫系统中的推广。
• 为未来关于修正拉格朗日量和机械系统中强制性条件的研究奠定基础。

提出的方法

• 通过将轨迹限制在次数 ≤ s 的多项式上，并利用积分规则近似作用量积分，构造伽辽金变分积分器。
• 应用变分法估计作用量泛函中的误差，改进了 Hall 和 Leok（2015）的先前误差界。
• 利用拉格朗日量的非退化性，确保欧拉-拉格朗日方程为二阶常微分方程，且勒让德变换可逆。
• 对于受迫系统，采用修正拉格朗日量方法，通过加倍状态空间并引入辅助变量，以恢复哈密顿原理。
• 施加约束 Q = q 以恢复原始的受迫动力学，并证明受迫伽辽金积分器与扩展系统伽辽金积分器之间的等价性。
• 依赖于临界曲线最小化作用量的假设，以界定连续解与离散最小化器之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 当积分规则足够精确时，伽辽金变分积分器的收敛阶是否超过标准的 min(s, u) 上限？
• RQ2 能否通过变分误差分析和改进的误差估计，建立阶数为 2s 的通用超收敛性证明？
• RQ3 在存在外部力的情况下，超收敛性是否仍然保持？若成立，其条件是什么？
• RQ4 对于具有位置相关质量矩阵的机械拉格朗日量，最小化临界曲线所需的强制性条件是否可验证？
• RQ5 扩展拉格朗日形式能否用于严格证明受迫系统中超收敛性的成立？

主要发现

• 当积分规则足够精确时，伽辽金变分积分器的收敛阶为 2s，从而确立了超收敛性。
• 该证明通过利用变分法中的技术，更精确地估计作用量泛函误差，改进了先前的误差界。
• 对于具有正定质量矩阵的机械拉格朗日量，最小化临界曲线所需的强制性条件得以满足，表明此类系统满足主定理的假设条件。
• 数值证据和低阶示例（如中点法则）支持超收敛性在受迫系统中成立的猜想，尽管完整证明仍待解决。
• 可通过使用扩展拉格朗日量对受迫系统进行重新表述，以恢复哈密顿原理，从而将超收敛结果应用于扩展系统。
• 本文指出了当前受迫系统证明中的一个缺口：扩展拉格朗日量（15）通常不满足最小化器假设，提示未来工作需在不依赖此假设的前提下，验证解的偏差 ˆq − ˜q 的普遍小性。