[论文解读] Superconvergence of high order finite difference schemes based on variational formulation for elliptic equations

Hao Li, Xiangxiong Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过使用 $(k+1)\times(k+1)$ 高斯-洛巴托积分，建立了从 $C^0$-$Q^k$ 有限元方法推导出的高阶有限差分格式的超收敛性。通过将变分形式中的积分替换为该积分，该格式在椭圆方程的狄利克雷边界条件下实现了离散 $L^2$-范数下的 $(k+2)$ 阶精度，表明高斯-洛巴托点上的函数值以超最优速率收敛。

ABSTRACT

The classical continuous finite element method with Lagrangian $Q^k$ basis reduces to a finite difference scheme when all the integrals are replaced by the $(k+1) imes (k+1)$ Gauss-Lobatto quadrature. We prove that this finite difference scheme is $(k+2)$-th order accurate in the discrete 2-norm for an elliptic equation with Dirichlet boundary conditions, which is a superconvergence result of function values.

研究动机与目标

• 建立从 $C^0$-$Q^k$ 有限元方法推导出的高阶有限差分格式在高斯-洛巴托点上函数值的超收敛性。
• 证明在变分形式中使用 $(k+1)\times(k+1)$ 高斯-洛巴托积分可生成在离散 $L^2$-范数下具有 $(k+2)$ 阶精度的有限差分格式。
• 提供一种实用且高效的有限差分实现方式，保持超收敛性而不损失精度或对称性。
• 将分析扩展至变系数问题、对流项以及三维问题，确认相同的收敛速率。

提出的方法

• 通过将 $C^0$-$Q^k$ 有限元格式中的所有积分替换为 $(k+1)\times(k+1)$ 高斯-洛巴托积分，推导出有限差分格式，该积分与 $Q^k$ 基函数的自由度相匹配。
• 将离散问题表述为 $A_h(u_h, v_h) = \braket{f, v_h}_h$，对所有 $v_h \to V_0^h$ 成立，其中 $A_h$ 和 $\braket{f, v_h}_h$ 使用高斯-洛巴托积分对双线性形式和线性形式进行计算。
• 在解和系数具有光滑性假设的条件下，证明所得格式在离散 $L^2$-范数下具有 $(k+2)$ 阶精度。
• 利用变分分析和离散格林函数技术，对高斯-洛巴托点处的误差进行上界估计，利用积分节点的超收敛性质。
• 在二维和三维中对泊松方程、变系数问题以及具有狄利克雷和诺伊曼条件的对流-扩散方程进行数值验证，确认理论结果。
• 通过张量积积分的矩阵组装方式高效实现该格式，并利用迭代或直接求解器求解线性系统，如第 7.4 节所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过高斯-洛巴托积分从 $C^0$-$Q^k$ 有限元方法推导出的高阶有限差分格式，是否能在积分节点处实现函数值的超收敛？
• RQ2 在变分形式中使用 $(k+1)\times(k+1)$ 高斯-洛巴托积分，是否能保持椭圆问题在狄利克雷边界条件下离散 $L^2$-范数下的 $(k+2)$ 阶精度？
• RQ3 该格式在变系数问题、对流项以及三维情形下的表现如何，且超收敛速率是否依然保持？
• RQ4 该格式能否以标准有限差分格式的形式高效实现，同时保持高阶精度和对称性？
• RQ5 在高斯-洛巴托点上的最大范数超收敛行为如何？其与 $L^2$-范数结果相比有何差异？

主要发现

• 通过使用 $(k+1)\times(k+1)$ 高斯-洛巴托积分从 $C^0$-$Q^k$ FEM 推导出的有限差分格式，在椭圆方程的狄利克雷边界条件下，实现了离散 $L^2$-范数下的 $(k+2)$ 阶精度。
• 当 $k=2$ 时，该格式在 $L^2$ 和 $L^\frown$ 范数下均为四阶精度，二维和三维泊松问题的数值实验已证实此结果。
• 该格式保持了刚度矩阵的对称性，并支持高效的矩阵组装，使其适用于高阶模拟。
• 数值结果表明，当 $k=2$ 时，$L^2$ 范数下的收敛阶约为 3.95–3.96，$L^\frown$ 范数下约为 3.92–3.94，与理论预测的 $(k+2)$ 阶超收敛一致。
• 超收敛结果可推广至三维问题和变系数问题，当 $k=2$ 时，$L^2$ 范数下收敛阶为 4.00–4.04，$L^\frown$ 范数下为 4.00。
• 该格式在具有不可压缩速度场的对流-扩散问题中依然有效，两种范数下均实现 $O(h^{k+2})$ 的收敛速度。