[论文解读] Superconvergence of Local Discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear parabolic equations

Waixiang Cao, Zhimin Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文针对一维线性抛物方程应用局部间断伽辽金（LDG）方法，采用交替数值通量，建立了超收敛结果。证明了在网格节点和区域平均处，数值通量的超收敛率为 $2k+1$ 阶，且在Radau点处函数值的超收敛率为 $k+2 $ 阶，导数的超收敛率为 $k+1 $ 阶，前提是采用合适的初始离散化，首次给出了Radau点处导数 $k+2$ 阶超收敛的严格证明。

ABSTRACT

In this paper, we study superconvergence properties of the local discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear parabolic equations when alternating fluxes are used. We prove, for any polynomial degree $k$, that the numerical fluxes converge at a rate of $2k+1$ (or $2k+1/2$) for all mesh nodes and the domain average under some suitable initial discretization. We further prove a $k+1$th superconvergence rate for the derivative approximation and a $k+2$th superconvergence rate for the function value approximation at the Radau points. Numerical experiments demonstrate that in most cases, our error estimates are optimal, i.e., the error bounds are sharp.

研究动机与目标

• 建立应用于一维线性抛物方程的LDG方法的精确超收敛速率。
• 分析数值通量、单元平均值以及在Radau点等特定点处解逼近的收敛行为。
• 提出一种新型校正函数技术，可同时校正时间依赖问题中解及其空间导数的误差。
• 证明区域平均值和节点处通量的 $2k+1$ 阶超收敛速率是最优且精确的。
• 通过数值实验表明，理论误差界是紧致的，且在Radau点处导数的 $k+2$ 阶超收敛是可实现的。

提出的方法

• 构造一种特殊校正函数，使其与LDG解在超接近意义下匹配解 $u$ 及其导数 $q = u_x$。
• 使用Gauss-Radau投影 $P_h^+u$ 和 $P_h^-q$ 定义与数值通量选择一致的插值函数。
• 通过耦合校正函数框架，同时校正 $u$ 和 $q$ 的误差，考虑时间依赖效应。
• 利用LDG弱形式和稳定性分析，推导能量估计和误差方程。
• 应用校正函数证明了 $2k+1$ 阶的超接近性，进而导出离散点处的超收敛性。
• 采用初始离散化方式，通过使初始投影与精确解对齐，确保最优收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维线性抛物方程中，LDG方法在区域平均值和网格节点处的数值通量的超收敛速率是多少？
• RQ2 在合适的初始条件下，LDG解是否能实现Radau点处函数值的 $k+2$ 阶超收敛，以及导数的 $k+1$ 阶超收敛？
• RQ3 数值通量和区域平均值的 $2k+1$ 阶超收敛速率是否精确且最优？
• RQ4 校正函数技术如何扩展到具有时间依赖性的抛物问题，与椭圆或双曲问题有何不同？
• RQ5 初始离散化在实现LDG格式中更高阶超收敛中的作用是什么？

主要发现

• 在合适的初始离散化下，LDG方法在所有网格节点和区域平均值处实现了 $2k+1$ 阶超收敛速率。
• 该方法在Radau点处的函数值逼近中表现出 $k+2$ 阶超收敛，在这些点处的导数逼近中表现出 $k+1$ 阶超收敛。
• LDG解与精确解的Gauss-Radau投影之间的误差以 $k+2$ 阶收敛，证实了超收敛性。
• 数值实验表明，理论误差界是紧致的，观测到的收敛速率与预测的 $2k+1$ 和 $k+2$ 阶完全一致。
• 区域平均值的 $2k+1$ 阶超收敛速率比以往已知结果高出 $1/2$ 阶，表明精度得到提升。
• 本工作首次为抛物方程LDG格式中Radau点处导数逼近的 $k+2$ 阶超收敛提供了严格证明。