[论文解读] Superconvergence Points For The Spectral Interpolation Of Riesz Fractional Derivatives

Beichuan Deng, Zhimin Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文通过Lobatto型多项式与广义雅可比函数（GJF）对Riesz分数阶导数的谱插值识别出超收敛点，证明了当 $ \alpha \in (0,1) $ 时收敛率提升 $ O(N^{-2}) $，当 $ \alpha > 1 $ 时提升 $ O(N^{-(\alpha+3)/2}) $。当使用GJF时，超收敛点与插值节点重合，从而在求解分数阶微分方程（FDEs）时实现更高阶精度。

ABSTRACT

In this paper, superconvergence points are located for the approximation of the Riesz derivative of order $α$ using classical Lobatto-type polynomials when $α\in (0,1)$ and generalized Jacobi functions (GJF) for arbitrary $α> 0$, respectively. For the former, superconvergence points are zeros of the Riesz fractional derivative of the leading term in the truncated Legendre-Lobatto expansion. It is observed that the convergence rate for different $α$ at the superconvergence points is at least $O(N^{-2})$ better than the optimal global convergence rate. Furthermore, the interpolation is generalized to the Riesz derivative of order $α> 1$ with the help of GJF, which deal well with the singularities. The well-posedness, convergence and superconvergence properties are theoretically analyzed. The gain of the convergence rate at the superconvergence points is analyzed to be $O(N^{-(α+3)/2})$ for $α\in (0,1)$ and $O(N^{-2})$ for $α> 1$. Finally, we apply our findings in solving model FDEs and observe that the convergence rates are indeed much better at the predicted superconvergence points.

研究动机与目标

• 通过经典Lobatto多项式，定位 $ \alpha \in (0,1) $ 阶Riesz分数阶导数谱插值的超收敛点。
• 将分析扩展至 $ \alpha > 1 $ 的情形，此时更强的奇异性要求使用广义雅可比函数（GJF）以实现稳定且精确的插值。
• 理论上分析基于GJF的插值在任意 $ \alpha > 0 $ 情况下的适定性、收敛性及超收敛性质。
• 展示超收敛点在求解具有增强精度的模型分数阶微分方程（FDEs）中的实际应用价值。
• 比较插值法、Galerkin-Petrov法与谱配置法在预测点实现超收敛性能的表现。

提出的方法

• 对于 $ \alpha \in (0,1) $，超收敛点被确定为Legendre-Lobatto展开中首项的Riesz分数阶导数的零点。
• 对于 $ \alpha > 1 $，采用广义雅可比函数（GJF）作为基函数以处理 $ x = \pm 1 $ 处的奇异性，从而实现稳定的谱插值。
• 插值构造为 $ u_N(x) = \sum_{j=0}^N \hat{\ell}_j(x) v_j $，其中 $ \hat{\ell}_j(x) = (1 - x^2)^{\alpha/2} \ell_j(x) $，$ \ell_j $ 为在GJF节点上的Lagrange基函数。
• 超收敛点被定义为Jacobi多项式 $ P^{\alpha/2, \alpha/2}_{N+1}(x) $ 的根，这些根即为插值节点。
• 通过在这些超收敛点上施加FDE，构建谱配置方法，得到线性系统 $ (D + \Lambda)V = F $，其中 $ D $ 为分数阶导数矩阵。
• 利用已知的GJF基函数Riesz导数公式，实现分数阶导数矩阵 $ D $ 的解析计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ \alpha \in (0,1) $ 阶Riesz分数阶导数的谱插值，超收敛点位于何处？在这些点上的收敛率相比全局最优率提升了多少？
• RQ2 当 $ \alpha > 1 $ 时，如何实现超收敛？此时标准Lobatto多项式因奇异性过强而失效，应如何应对？
• RQ3 当 $ \alpha > 1 $ 时使用广义雅可比函数（GJF）进行插值，超收敛点处的理论收敛率是多少？
• RQ4 在求解FDEs时，插值法、Galerkin-Petrov法与谱配置法在超收敛性能方面表现如何比较？
• RQ5 预测的超收敛点能否有效用于提升模型FDE数值解的精度？

主要发现

• 当 $ \alpha \in (0,1) $ 时，超收敛点为Legendre-Lobatto多项式Riesz分数阶导数的零点，且在这些点上的收敛率相比全局最优率提升 $ O(N^{-2}) $。
• 当 $ \alpha > 1 $ 时，使用广义雅可比函数（GJF）可实现稳定插值，且超收敛点与插值节点重合，即 $ P^{\alpha/2, \alpha/2}_{N+1}(x) $ 的根。
• 在超收敛点处的收敛率提升为：当 $ \alpha \in (0,1) $ 时为 $ O(N^{-(\alpha+3)/2}) $，当 $ \alpha > 1 $ 时为 $ O(N^{-2}) $，两者均显著优于全局收敛率。
• 在谱配置方法中，超收敛率比全局最优率快 $ O(N^{-3}) $ 至 $ O(N^{-4}) $，优于插值法与Galerkin-Petrov法。
• 数值实验表明，超收敛点处的误差远小于全局最大误差，且在配置方法中改善效果最为显著。
• 理论准确预测了超收敛点的位置，其应用显著提升了求解模型FDEs的精度，尤其在基于GJF的插值中效果更佳。