[论文解读] Supercuspidal unipotent representations: L-packets and formal degrees

Yongqi Feng, Eric Opdam+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文建立了非阿基米德局部域上半简单 $p$-进李群的超卡普斯迪安幂幺表示的局部兰兰兹对应，通过形式度与伴随 $γ$-因子匹配，证明了此类表示与无挠主 cuspidal 增强 $L$-参数之间的一一对应。该工作证实了 Hiraga–Ichino–Ikeda 关于形式度的猜想，并利用群的仿射 Dynkin 图给出了 $L$-包的计数公式。

ABSTRACT

Let K be a non-archimedean local field and let G be a connected reductive K-group which splits over an unramified extension of K. We investigate supercuspidal unipotent representations of the group G(K). We establish a bijection between the set of irreducible G(K)-representations of this kind and the set of cuspidal enhanced L-parameters for G(K), which are trivial on the inertia subgroup of the Weil group of K. The bijection is characterized by a few simple equivariance properties and a comparison of formal degrees of representations with adjoint $γ$-factors of L-parameters. This can be regarded as a local Langlands correspondence for all supercuspidal unipotent representations. We count the ensueing L-packets, in terms of data from the affine Dynkin diagram of G. Finally, we prove that our bijection satisfies the conjecture of Hiraga, Ichino and Ikeda about the formal degrees of the representations.

研究动机与目标

• 为所有非阿基米德局部域上半简单 $p$-进李群的超卡普斯迪安幂幺表示建立一个典范的局部兰兰兹对应。
• 通过形式度与伴随 $γ$-因子刻画该对应，确保其唯一性并兼容于已有的参数化方法。
• 证明此类表示的 Hiraga–Ichino–Ikeda 关于形式度的猜想。
• 利用群的仿射 Dynkin 图数据，对超卡普斯迪安幂幺表示的 $L$-包进行计数。
• 将对应关系从对偶群推广至一般半简单群，包括例外群的内形与外形式。

提出的方法

• 通过等变性与形式度和伴随 $γ$-因子的比较，建立 $\mathbf{G}(K)$ 的不可约超卡普斯迪安幂幺表示与无挠主 cuspidal 增强 $L$-参数之间的双射。
• 利用表示的形式度及其 $L$-参数的伴随 $γ$-因子作为不变量，唯一确定该对应关系。
• 应用限制标量与基变换技术，关联域扩张上的表示，并通过伽罗瓦作用于仿射 Dynkin 图计算 $L$-包。
• 利用特征层理论与 Lusztig 对幂幺表示的分类，验证其与经典群及例外群中已有参数化的一致性。
• 通过证明表示的形式度等于 $q_K$ 的有理函数乘以 $L$-参数的伴随 $γ$-因子，从而证明 Hiraga–Ichino–Ikeda 猜想。
• 利用李代数的分量群 $S_{\lambda}^{\sharp}$ 与阿廷导子，计算形式度并验证 $γ$-因子的函数方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有半简单 $p$-进李群的超卡普斯迪安幂幺表示建立一个典范的局部兰兰兹对应？
• RQ2 超卡普斯迪安幂幺表示的 $L$-参数是否由其形式度与伴随 $γ$-因子唯一确定？
• RQ3 超卡普斯迪安幂幺表示的形式度是否等于 $q_K$ 的有理函数乘以 $L$-参数的伴随 $γ$-因子？
• RQ4 如何利用群的仿射 Dynkin 图对超卡普斯迪安幂幺表示的 $L$-包进行计数？
• RQ5 超卡普斯迪安幂幺表示的参数化在多大程度上与 Lusztig 和 Morris 早期的组合构造一致？

主要发现

• 本文建立了 $\mathbf{G}(K)$ 的不可约超卡普斯迪安幂幺表示与无挠主 cuspidal 增强 $L$-参数之间唯一的双射，其特征为形式度与伴随 $γ$-因子的匹配。
• 该对应与 Lusztig 及 Morris 对分裂群的对偶群与内形的早期参数化一致，确认了不同方法间的一致性。
• 超卡普斯迪安幂幺表示的形式度是 $q_K$ 的有理函数乘以 $L$-参数的伴随 $γ$-因子，其中常数 $C_\pi \in \mathbb{Q}^\times$。
• Hiraga–Ichino–Ikeda 猜想得到证实：此类表示的形式度等于 $q_K$ 的有理函数乘以 $L$-参数的伴随 $γ$-因子。
• 超卡普斯迪安幂幺表示的 $L$-包大小由群 $\mathbf{G}$ 的仿射 Dynkin 图结构决定，特别是通过伽罗瓦作用于图节点的机制。
• 通过涉及 $L$-参数在对偶群中中心化子的短正合列，计算了 $L$-参数的分量群 $S_{\lambda}^{\sharp}$，并由此确定了形式度（至有理常数因子）。