[论文解读] Superelliptic jacobians

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Cephalopods and Marine Biology被引用 11

一句话总结

本文研究了在函数域 $K = k(t)$ 上的超椭圆曲线 $y^q = f(x)$ 的雅可比簇的自同态代数与等轨性性质，其中 $k$ 为代数闭域，$f(x)$ 的次数为 $n=3$ 或 $4$，且伽罗瓦群为双重传递群。对于奇素数幂 $q = p^r$，本文证明了雅可比簇 $J(C_{f,q})$ 是完全非等轨的，其自同态代数同构于分圆域的乘积 $\prod_{i=1}^r \mathbf{Q}(\zeta_{p^i})$，当 $q$ 为奇素数幂时，有 $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$。

ABSTRACT

We discuss the structure of the endomorphism algebras of the jacobians of superelliptic curves y^q=f(x) where q is a prime power and f(x) is an irreducible cubic or quartic polynomial over the field of rational functions k(t) in characteristic zero, whose Galois group is the full symmetric group.

研究动机与目标

• 确定超椭圆雅可比簇 $J(C_{f,q})$ 的自同态代数 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$ 的结构，其中曲线 $y^q = f(x)$ 定义在函数域 $K = k(t)$ 上，$k$ 为代数闭域。
• 在 $n=3$ 或 $4$，$\mathrm{Gal}(f)$ 为双重传递群（即 $S_3$、$A_4$ 或 $S_4$），且 $q = p^r$，$p$ 为不整除 $n$ 的奇素数时，建立 $J(C_{f,q})$ 的完全非等轨性。
• 单独分析 $q=4$ 的情形，证明 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,4})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1}))$，且雅可比簇同源于包含复乘椭圆曲线的乘积。
• 将先前关于高亏格超椭圆曲线的研究结果扩展至缺失的 $n=3$ 和 $n=4$ 情形，完成在双重传递伽罗瓦作用下自同态代数的分类。

提出的方法

• 利用 Néron 模型与良好约化理论，研究雅可比簇在 $\mathbf{A}^1 \setminus B$ 上的行为，其中 $B$ 为有限个坏约化点的集合。
• 应用基变换与专门化技术，比较不同 $k$-有理点 $a \in k_0 \setminus B$ 处的纤维 $J(C_{f_a,q})$，利用分裂域的线性不相交性。
• 应用文献 [38] 的推论 3.6，通过分析 $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ 在 $\mathrm{End}^0$ 中的中心化子，排除纤维之间非零同态的存在。
• 利用定理 4.2(b) 证明：若纤维之间无同态，则通用纤维 $J(C_{f,q})$ 为完全非等轨的。
• 应用定理 5.18 与引理 5.11，计算 $q=4$ 时的 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$，利用关于具有超越 $j$-不变量的椭圆曲线自同态环的已知结果。
• 结合分圆域中最大序的性质与 $\mathbf{Z}[\zeta_q]$ 是 $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ 中最大序的事实，得出当 $q$ 为奇素数幂时，有 $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n=3$ 或 $n=4$ 且 $\mathrm{Gal}(f)$ 为双重传递群时，超椭圆雅可比簇 $J(C_{f,q})$ 的 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q}))$ 结构为何？
• RQ2 当 $n=3$ 或 $4$，$\mathrm{Gal}(f)$ 为 $S_3$、$A_4$ 或 $S_4$，且 $q = p^r$，$p$ 为不整除 $n$ 的奇素数时，$J(C_{f,q})$ 在 $k(t)$ 上是否完全非等轨？
• RQ3 当 $q=4$ 时，自同态代数如何变化，特别是在 $n=3$ 的情形下？
• RQ4 当 $q=p$ 为奇素数时，能否显式计算自同态环 $\mathrm{End}(J(C_{f,q}))$，且其是否与分圆域 $\mathbf{Q}(\zeta_p)$ 中的整数环一致？
• RQ5 当 $q=2^r$ 且 $r \geq 3$，$n=3$ 时，$J(C_{f,q})$ 的同源分解为何？

主要发现

• 当 $n=3$，$\mathrm{Gal}(f) = S_3$，且 $q = p$ 为奇素数时，$J(C_{f,p})$ 为完全非等轨的，且 $\mathrm{End}(J(C_{f,p})) = \mathbf{Z}[\zeta_p]$，$\mathrm{End}^0(J(C_{f,p})) = \mathbf{Q}(\zeta_p)$。
• 当 $n=4$，$\mathrm{Gal}(f) = S_4$ 或 $A_4$，且 $q = p$ 为奇素数时，$J(C_{f,p})$ 为完全非等轨的，且 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,p})) = \mathbf{Q}(\zeta_p)$，$\mathrm{End}(J(C_{f,p})) = \mathbf{Z}[\zeta_p]$。
• 当 $q = p^r$，$p$ 为奇素数，$n=3$ 或 $4$ 时，有 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q})) \cong \prod_{i=1}^r \mathbf{Q}(\zeta_{p^i})$，且 $J(C_{f,q})$ 为完全非等轨的。
• 当 $q=4$ 且 $n=3$ 时，有 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,4})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1}))$，且 $J(C_{f,4})$ 同源于 $C_{f,2}: y^2 = f(x)$ 与椭圆曲线 $y^3 = x^3 - x$ 的平方的乘积。
• 当 $q = 2^r$，$r > 2$，且 $n=3$ 时，有 $\mathrm{End}^0(J(C_{f,q})) \cong \mathbf{Q} \times \mathrm{Mat}_2(\mathbf{Q}(\sqrt{-1})) \times \prod_{i=3}^r \mathbf{Q}(\zeta_{2^i})$，且 $J(C_{f,q})$ 同源于一个完全非等轨阿贝尔簇、$C_{f,2}$ 以及 $y^3 = x^3 - x$ 的平方的乘积。
• 结果确认 $\mathbf{Z}[\zeta_q]$ 是 $\mathbf{Q}(\zeta_q)$ 中的最大序，因此当 $q = p^r$ 为奇素数幂时，有 $\mathrm{End}(J(C_{f,q})) = \mathbf{Z}[\zeta_q]$。