[论文解读] Supergravity as Generalised Geometry II: $E_{d(d)} imes \mathbb{R}^+$ and M theory

André Coimbra, Charles Strickland‐Constable+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用 39

一句话总结

本文通过使用 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 结构群和局部 $\tilde{H}_d$ 对称性，将广义几何推广至十一维超引力，通过广义 Levi-Civita 连接 $D$ 统一了玻色子与费米子场。关键结果是引力微子 $\psi$ 和自旋-3/2 场 $\rho$ 的运动方程被紧凑地表达为 $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ 和 $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$，并在 $d=4$ 和 $d=7$ 时给出了显式形式，分别使用 $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ 和 $\tilde{H}_7 = SU(8)$ 的表示。

ABSTRACT

We reformulate eleven-dimensional supergravity, including fermions, in terms of generalised geometry, for spacetimes that are warped products of Minkowski space with a $d$-dimensional manifold $M$ with $d\leq7$. The reformation has a $E_{d(d)} imes \mathbb{R}^+$ structure group and is has a local $ ilde{H}_d$ symmetry, where $ ilde{H}_d$ is the double cover of the maximally compact subgroup of $E_{d(d)}$. The bosonic degrees for freedom unify into a generalised metric, and, defining the generalised analogue $D$ of the Levi-Civita connection, one finds that the corresponding equations of motion are the vanishing of the generalised Ricci tensor. To leading order, we show that the fermionic equations of motion, action and supersymmetry variations can all be written in terms of $D$. Although we will not give the detailed decompositions, this reformulation is equally applicable to type IIA or IIB supergravity restricted to a $(d-1)$-dimensional manifold. For completeness we give explicit expressions in terms of $ ilde{H}_4=\mathit{Spin}(5)$ and $ ilde{H}_7=\mathit{SU}(8)$ representations for $d=4$ and $d=7$.

研究动机与目标

• 将广义几何扩展至十一维超引力，对 $d \leq 7$ 显式实现 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 对称性。
• 在广义几何框架中纳入费米子自由度——引力微子 $\psi$ 和自旋-3/2 场 $\rho$。
• 表明超对称代数和费米子运动方程自然地编码于广义连接 $D$ 中。
• 为 $d=4$ 和 $d=7$ 提供形式的显式实现，分别使用 $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ 和 $\tilde{H}_7 = SU(8)$ 的表示。

提出的方法

• 通过广义度量 $G$ 和无挠、度量相容的广义连接 $D$ 构造玻色子部分，运动方程由广义 Ricci 张量 $R_{AB} = 0$ 的消失给出。
• 定义 $\tilde{H}_d$-协变算子 $\not{D}$、$D\!\!\curlywedge$ 和 $D\!\!\curlyvee$，将广义连接投影到 $\psi$ 和 $\rho$ 的表示上。
• 将费米子运动方程构作成 $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ 和 $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$，在费米子的主导阶有效。
• 利用 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 表示理论分解场与连接，对 $d=4$ 和 $d=7$ 推导出显式表达式。
• 通过 $\not{V}$、$V\!\!\curlywedge$、$V\!\!\curlyvee$ 的旋量与张量投影，定义在旋量 $S^\pm$ 和秩-$p$ 张量 $J^\pm$ 上的作用。
• 验证费米子动力学和超对称变分完全编码于广义连接 $D$ 中，确保显式局部 $\tilde{H}_d$ 对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在显式实现 $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 对称性的广义几何中重述十一维超引力？
• RQ2 费米子场 $\psi$ 和 $\rho$ 如何编码于广义连接 $D$ 中？
• RQ3 在广义几何框架中，费米子运动方程的形式是什么？
• RQ4 $\tilde{H}_d$-协变算子 $D\!\!\curlywedge$ 和 $D\!\!\curlyvee$ 如何将广义连接投影到 $\psi$ 和 $\rho$ 的表示上？
• RQ5 在使用 $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ 和 $\tilde{H}_7 = SU(8)$ 时，$d=4$ 和 $d=7$ 的显式表达式是什么？

主要发现

• 引力微子 $\psi$ 和自旋-3/2 场 $\rho$ 的运动方程被紧凑地表达为 $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ 和 $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$，其中 $D$ 是无挠、度量相容的广义连接。
• 对于 $d=7$，费米子方程简化为 $-\frac{1}{12}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta\delta'\theta_1\theta_2\theta_3}D^{\delta\delta'}\psi^{\theta_1\theta_2\theta_3} + 2\bar{D}_{[\alpha\beta]}\bar{\rho}_{\gamma]} = 0$ 和 $-\frac{1}{2}\bar{D}_{\beta\gamma}\psi^{\alpha\beta\gamma} + D^{\alpha\beta}\bar{\rho}_{\beta} = 0$，展现出极为紧凑的形式。
• 广义连接 $D$ 编码了完整的超对称代数和费米子动力学，$\tilde{H}_d$-协变算子确保了显式局部对称性。
• 投影 $\hat{\chi}^+ \times_{\text{ad}P^\perp} \hat{\chi}^-$ 的像位于 $\text{ad}P^\perp$ 的 $\tilde{H}_d$ 标量部分，结果为 $\frac{2}{9-d}\bar{\hat{\chi}}^-\hat{\chi}^+$。
• $\not{V}$、$V\!\!\curlywedge$ 和 $V\!\!\curlyvee$ 在旋量与张量上的作用被显式计算，其分量涉及 $\Gamma$-矩阵、旋量联络 $\omega_{ab}$ 以及场强 $\sigma_{a_1\dots a_5}$、$\tau_{a,b_1\dots b_7}$。
• 该形式可推广至 $(d-1)$-维流形上的型 IIA 和 IIB 超引力，具有相同的广义几何结构和基于 $D$ 的方程。