[论文解读] Superintegrability for ($β$-deformed) partition function hierarchies with $W$-representations

Rui Wang, Fan Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 5

一句话总结

该论文利用 W-表示构造了（β-形变）的划分函数层级，证明其关于 Schur 多项式和 Jack 多项式的特征展开表现出超积分性。关键结果是，众所周知的矩阵模型——如高斯赫米特矩阵模型和复矩阵模型——被嵌入到这些层级中，且通过 W-算子作用于对称函数，得到了显式的特征展开。

ABSTRACT

We construct the ($β$-deformed) partition function hierarchies with $W$-representations. Based on the $W$-representations, we analyze the superintegrability property and derive their character expansions with respect to the Schur functions and Jack polynomials, respectively. Some well known superintegrable matrix models such as the Gaussian hermitian one-matrix model (in the external field), $N imes N$ complex matrix model, $β$-deformed Gaussian hermitian and rectangular complex matrix models are contained in the constructed hierarchies.

研究动机与目标

• 通过 W-表示构造（β-形变）矩阵模型的划分函数层级。
• 通过 W-算子作用于对称函数，分析这些层级的超积分性。
• 推导划分函数关于 Schur 函数和 Jack 多项式的特征展开。
• 将已知的超积分矩阵模型——如高斯赫米特矩阵模型和复矩阵模型——嵌入到所构建的层级中。
• 将该框架推广至 β-形变模型，并通过未来的一般化，探索其与 Jack 多项式和 Macdonald 多项式之间的联系。

提出的方法

• 定义 Hurwitz 算子 $W_0$ 及其与 $p_1$ 和 $\partial_{p_1}$ 的对易关系，通过递归对易关系生成 $W$-算子层级 $W_{-n}$。
• 利用作用于常数函数 1 的 $W_{-n}$ 算子，构造划分函数层级 $Z_{-n}\{p\} = e^{W_{-n}/n} \cdot 1$（$n \geq 1$）。
• 建立 $W_{-n}$ 对 Schur 函数 $S_\lambda$ 的作用：其为在 Young 图中添加 $n$ 个方格所得所有图的和，权重为 $\prod_{k=1}^n (j_\square - i_\square + N)^\alpha$。
• 利用 W-表示和 Cauchy 恒等式，推导划分函数关于 Schur 函数的特征展开。
• 通过引入 $\mathcal{W}_0$、$\bar{E}_{-1}$ 和 $\mathcal{W}_n$ 算子，将构造推广至 β-形变情形，使其作用于 Jack 多项式 $J_\lambda$。
• 利用 β-形变的 $W$-算子，推导 β-形变划分函数层级 $\mathcal{Z}_n\{g|p\}$ 关于 Jack 多项式的特征展开，其中涉及 $J_\lambda\{p_k = N\}$ 与 $\langle J_\lambda, J_\lambda \rangle_\beta$ 的比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 W-表示系统地构造（β-形变）矩阵模型的划分函数？
• RQ2 这些 W-表示的层级是否通过 Schur 和 Jack 多项式展开表现出超积分性？
• RQ3 所构建的层级中是否包含已知的矩阵模型（如高斯赫米特矩阵模型或复矩阵模型）？
• RQ4 对称函数上的 $W$-算子作用如何导致显式特征展开，并产生对称函数结构比值？
• RQ5 $\beta$-形变在将 W-表示框架推广至 Jack 多项式和 Macdonald 多项式中起到何种作用？

主要发现

• 划分函数层级 $Z_{-n}\{p\} = e^{W_{-n}/n} \cdot 1$ 产生关于 Schur 函数的特征展开，其中 $W_{-n}$ 作为微分算子，生成对所有通过添加 $n$ 个方格得到的 Young 图的和，权重为 $\prod_{k=1}^n (j_{\square_k} - i_{\square_k} + N)^\alpha$。
• 层级 $Z_{-n}\{p\}$ 的特征展开为 $\sum_{\lambda} e^{t c_\lambda} S_\lambda\{p_k = e^{-tN} \delta_{k,1}\} S_\lambda\{p\}$，确认其为 KP 层次的 $\tau$-函数结构。
• $N \times N$ 复矩阵模型和高斯赫米特一矩阵模型（在外部场中）被明确包含在层级 $Z_{-n}\{p\}$ 中。
• 对于 β-形变情形，划分函数层级 $\mathcal{Z}_n\{g|p\} = e^{\mathcal{W}_n/n} e^{\beta \sum_{k=1}^\infty \frac{p_k g_k}{k}}$ 允许关于 Jack 多项式的特征展开，涉及比值 $\frac{J_\lambda\{p_k = N\} J_\mu\{p_k = \delta_{k,1}\}}{J_\mu\{p_k = N\} J_\lambda\{p_k = \delta_{k,1}\}}$。
• $\beta$-形变层级将 $\beta$-形变的高斯赫米特矩阵模型和矩形复矩阵模型作为特例包含在内。
• β-形变层级的特征展开表达为 $\sum_{\lambda,\mu} \beta^{\frac{| one|}{n}(n\alpha - 1)} \left( \frac{J_\lambda\{p_k = N\} J_\mu\{p_k = \delta_{k,1}\}}{J_\mu\{p_k = N\} J_\lambda\{p_k = \delta_{k,1}\}} \right)^\alpha \frac{J_{\lambda/\mu}\{p_k = \delta_{k,n}\}}{\langle J_\lambda, J_\lambda \rangle_\beta \langle J_\mu, J_\mu \rangle_\beta} J_\lambda\{g\} J_\mu\{p\}$，通过比值结构确认了其超积分性。