[论文解读] Superintegrable three body systems in one dimension and generalizations

Claudia Maria Chanu, Luca Degiovanni+1 more|ArXiv.org|Jul 30, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 4

一句话总结

本文通过利用柱坐标和球-柱坐标，将一维上的超可积三体系统推广至多体系统及高维流形，以在相对坐标中表达齐次度为(-2)的势能。研究表明，此类系统具有多个二次型及在某些情况下三次型首次积分，从而实现最大超可积性，并在角坐标相位移下形成相互作用的等价类。

ABSTRACT

Superintegrable Hamiltonian systems describing the interactions among three point masses on a line have been described in [2]. Here, we show examples of how the approach of above can be extended to a higher number of particles on a line and on higher dimensional manifolds. This paper is a slightly extended version of a poster presented at the XVI ICMP held in Prague, 3-8 August 2009.

研究动机与目标

• 将一维上的超可积三体系统推广至多于三个粒子的系统。
• 在保持超可积性的前提下，将框架扩展至更高维的欧几里得空间。
• 通过角坐标中的相位移识别多体相互作用的等价类。
• 构造具有多个独立首次积分（包括二次型和三次型）的哈密顿量。
• 证明在相对粒子间距中，齐次度为(-2)的势能可表示为高维配置空间中径向与角变量的函数。

提出的方法

• 通过正则坐标将n体系统在直线上转化为n维欧几里得空间中的单体系统。
• 将势能表示为相对距离 $X_i = x^i - x^{i+1}$ 的函数，其为齐次度-2。
• 引入柱坐标和球-柱坐标 $(r, oldsymbol{ heta}, u)$，以在哈密顿-雅可比方程中实现变量分离。
• 通过沿 $oldsymbol{ u}$-轴的旋转与平移对称性，识别出二次型首次积分 $H_1, H_2, H_3, H_5, H_6$。
• 对于形如 $V = \frac{k}{[r \tan(2n+1)\theta]^2}$ 的势能，利用二项式系数与导数推导出第五个三次型首次积分的一般形式。
• 通过将 $n$-点系统嵌入 $\bbR^{m \times n}$ 并施加总动量守恒不变性，将该方法应用于 $m$-维流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一维上的超可积三体系统推广至 $n > 3$ 个粒子的系统？
• RQ2 角坐标 $ heta$ 中的相位移如何导致多体相互作用的等价类？
• RQ3 在 $n$-体系统中，齐次度为(-2)的势能的首次积分具有何种结构？
• RQ4 能否系统性地为某些势能族构造第五个三次型首次积分？
• RQ5 如何通过坐标变换与对称性约束，将高维流形中的多体系统约化为超可积形式？

主要发现

• 任何在相对距离 $X_i$ 上的齐次度为(-2)的势能，均可在 $\bbR^n$ 的球-柱坐标中表示为 $V = \frac{1}{r_{n-1}^2} \tilde{\rho}(\boldsymbol{\theta})$。
• 卡洛杰罗与沃尔夫斯势能在 $\theta$ 中经 $\frac{\tau}{6}$ 相位移后被证明是等价的，尽管其在二体与三体性质上存在差异。
• 形如 $V = \frac{k}{[r \tan(2n+1)\theta]^2}$ 的势能具有第五个独立的三次型首次积分，使其成为最大超可积系统。
• 当 $n=4$ 时，系统具有 $2n-2 = 6$ 个二次型首次积分，扩展了三体情形。
• 在 $m$-维流形中，通过将 $n$-点系统嵌入 $\bbR^{m n}$ 并施加总动量守恒，该方法可得到 $m(2n-2)$ 个二次型首次积分。
• 第五个首次积分的一般形式涉及二项式系数与 $\tan(2n+1)\theta$ 的导数，其显式系数 $A_\rho^i$ 由组合表达式导出。