[论文解读] Supermarket Queueing System in the Heavy Traffic Regime. Short Queue Dynamics

Patrick Eschenfeldt, David Gamarnik|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用 14

一句话总结

本文分析了重载条件下超市排队模型，其中到达率趋近于服务容量。研究发现，当队列长度短于 log_d(1/(1−λ_n))−O(1) 时，在重标度下其演化遵循确定性的无限维线性常微分方程系统，而非扩散过程，其固定点解为 π₁(d^i−1)/(d−1)，表明在重载条件下短队列表现出非扩散性、平均场行为。

ABSTRACT

We consider a queueing system with $n$ parallel queues operating according to the so-called "supermarket model" in which arriving customers join the shortest of $d$ randomly selected queues. Assuming rate $nλ_{n}$ Poisson arrivals and rate $1$ exponentially distributed service times, we consider this model in the heavy traffic regime, described by $λ_{n}\uparrow 1$ as $n o\infty$. We give a simple expectation argument establishing that majority of queues have steady state length at least $\log_d(1-λ_{n})^{-1} - O(1)$ with probability approaching one as $n ightarrow\infty$, implying the same for the steady state delay of a typical customer. Our main result concerns the detailed behavior of queues with length smaller than $\log_d(1-λ_{n})^{-1}-O(1)$. Assuming $λ_{n}$ converges to $1$ at rate at most $\sqrt{n}$, we show that the dynamics of such queues does not follow a diffusion process, as is typical for queueing systems in heavy traffic, but is described instead by a deterministic infinite system of linear differential equations, after an appropriate rescaling. The unique fixed point solution of this system is shown explicitly to be of the form $π_{1}(d^{i}-1)/(d-1), i\ge 1$, which we conjecture describes the steady state behavior of the queue lengths after the same rescaling. Our result is obtained by combination of several technical ideas including establishing the existence and uniqueness of an associated infinite dimensional system of non-linear integral equations and adopting an appropriate stopped process as an intermediate step.

研究动机与目标

• 理解在 λ_n → 1 的重载条件下，超市模型中短队列的动力学行为。
• 刻画队列长度显著低于典型阈值 log_d(1/(1−λ_n))−O(1) 的稳态行为。
• 证明此类短队列的动力学不遵循经典重载理论中的扩散极限，而是收敛于一个确定性的常微分方程系统。
• 通过重标度和无限维积分方程系统的收敛性，提供严格的理论依据。
• 推测极限系统之固定点描述了经重标度后队列长度的稳态分布。

提出的方法

• 通过队列长度过程的重标度，分析重载条件下低于典型阈值的队列行为。
• 应用函数极限定理，证明重标度过程收敛于一个确定性的无限维线性常微分方程系统。
• 引入中间停止过程以控制动力学，并在收敛性论证中建立紧致性。
• 证明由流体极限导出的无限维非线性积分方程系统存在唯一解。
• 依赖耦合论证和矩界，证明初始条件及扰动收敛于零。
• 通过与确定性参考过程的比较论证，证明短队列中大偏差的概率随 n→∞ 而趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系统处于重载状态（λ_n → 1）且 d 固定时，超市模型中队列长度的极限行为是什么？
• RQ2 在重载条件下，长度短于 log_d(1/(1−λ_n))−O(1) 的队列是否遵循扩散过程或确定性系统？
• RQ3 能否通过极限无限维常微分方程系统的固定点来刻画短队列的稳态分布？
• RQ4 短队列的动力学与单服务器或对称系统中的经典重载扩散极限有何不同？
• RQ5 参数 η_n 在控制系统收敛至极限确定性动力学的速度中起什么作用？

主要发现

• 当 n→∞ 时，队列长度不超过 log_d(1/(1−λ_n))−ω_n 的比例趋于零，证实大多数队列长度超过该阈值。
• 在适当的重标度下，长度短于 log_d(1/(1−λ_n))−O(1) 的队列动力学收敛于一个确定性的无限维线性常微分方程系统。
• 极限常微分方程系统唯一的固定点显式给出为 π₁(d^i−1)/(d−1)（i≥1），该解被推测描述了经重标度后队列长度的稳态分布。
• 当 λ_n 以至多 √n 的速率趋近 1 时，即 λ_n = 1 − β/η_n 且 η_n → ∞，该收敛性成立。
• 系统未收敛至扩散过程，与经典重载行为相矛盾，原因在于负载非恒定以及采用 power-of-d 选择机制。
• 过程在时间 t 前离开短队列区间的概率随 n→∞ 而趋于零，从而确保了极限常微分方程描述的有效性。