[论文解读] Superregular solitonic solutions: a novel scenario of the nonlinear stage of Modulation Instability

В. Е. Захаров, Andrey Gelash|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Particle accelerators and beam dynamics参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文利用布料法（dressing method）提出了一类具有凝聚体背景的聚焦非线性薛定谔方程（NLSE）的一般N-孤子解。该研究引入了超规则孤子解——在t=0时为小的局域扰动，随时间演化后形成N对准阿赫梅多耶夫脉动子的非线性叠加，揭示了调制不稳定性非线性阶段及怪波形成的一种新颖可积情景。

ABSTRACT

We describe a general N-solitonic solution of the focusing NLSE in the presence of a condensate by using the dressing method. We give the explicit form of one- and two- solitonic solutions and study them in detail. We distinguish a special class of solutions that we call regular solitonic solutions. Regular solitonic solutions do not disturb phases of the condensate at infinity by coordinate. All of them can be treated as localized perturbations of the condensate. We find a broad class of superregular solitonic solutions which are small perturbations at certain a moment of time. Superregular solitonic solutions are generated by pairs of poles located on opposite sides of the cut. They describe the nonlinear stage of the modulation instability of the condensate and play an important role in the theory of freak waves.

研究动机与目标

• 为具有凝聚体背景的聚焦NLSE中调制不稳定的非线性阶段建立解析框架。
• 表征一类在t=0时保持为凝聚体局域扰动的广义解类，称为超规则孤子解。
• 阐明不改变空间无穷远处凝聚体相位的规则孤子解的作用。
• 描述这些解向准阿赫梅多耶夫脉动子结构化叠加的非线性演化过程。
• 建立超规则解与怪波现象背景下可积湍流出现之间的联系。

提出的方法

• 应用布料法，在凝聚体存在的条件下构造聚焦NLSE的一般N-孤子解。
• 使用统一变量简化谱分析，并推导出一阶和二阶孤子解的显式表达式。
• 通过复平面上切割两侧对称分布的谱极点位置，建立判断规则孤子解的标准。
• 将解表示为作用于凝聚体背景的布料矩阵的乘积，通过ε的摄动展开分析小初始扰动。
• 分析解的渐近行为，表明在ε→0极限下，t=0时的超规则解构成一个N维线性空间。
• 证明具有2N个极点（N对在切割两侧对称分布）的超规则解演化为N对准阿赫梅多耶夫脉动子的非线性叠加。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凝聚体存在的情况下，聚焦NLSE的一般N-孤子解的结构是什么？
• RQ2 作为t=0时局域扰动的超规则孤子解如何随时间演化？
• RQ3 位于复平面切割两侧对称分布的谱极点在生成保持无穷远处凝聚体相位的解中起什么作用？
• RQ4 调制不稳定的非线性阶段如何体现为孤子结构？
• RQ5 超规则解能否被解释为初始扰动非线性发展所引发的可积湍流的一种形式？

主要发现

• 利用布料法推导出具有凝聚体背景的聚焦NLSE的一般N-孤子解，给出了显式的一阶和二阶孤子解形式。
• 识别出超规则孤子解为t=0时的局域小扰动，由谱平面上切割两侧对称分布的极点对生成。
• 这些解演化为N对准阿赫梅多耶夫脉动子的非线性叠加，代表了调制不稳定非线性阶段的一种新情景。
• 在t=0时，超规则解在ε→0极限下构成一个N维线性空间，表明其为扰动的线性叠加。
• 证明了规则孤子解可保持空间无穷远处的凝聚体相位，并在统一变量下给出了简单的可积性判据。
• 结果为理解怪波形成作为NLSE中可积非线性动力学的结果提供了新的解析框架。