[论文解读] Superrigidity, Weyl groups, and actions on the Circle

Uri Bader, Alex Furman+1 more|ArXiv.org|May 10, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用 11

一句话总结

本文提出一种利用广义 Weyl 群——与局部紧群及其边界相关联的有限群——研究超刚性的新方法，以建立格表示和到 Homeo₊(S¹) 的可测上循环的刚性结果。研究证明，非初等的圆作用要么通过 PSL₂(R) 扩展到环境群，要么与这类作用半共轭，推广了 Ghys 定理，并对群的乘积和 A₂ 建筑物建立了新结果。

ABSTRACT

We propose a new approach to superrigidity phenomena and implement it for lattice representations and measurable cocycles with homeomorphisms of the circle as the target group. We are motivated by Ghys' theorem stating that any representation $ o:Γ o\Homeo_+(S^1)$ of an irreducible lattice $Γ$ in a semi-simple real Lie group $G$ of higher rank, either has a finite orbit or, up to a semi-conjugacy, extends to $G$ which acts through an epimorphism $G o\PSL_{2}(\RR)$. Our approach, based on the study of abstract boundary theory and, specifically, on the notion of a generalized Weyl group, allows: (A) to prove a similar superrigidity result for irreducible lattices in products $G=G_{1} imes... G_{n}$ of $n\ge 2$ general locally compact groups, (B) to give a new (shorter) proof of Ghys' theorem, (C) to establish a commensurator superrigidity for general locally compact groups, (D) to prove first superrigidity theorems for $ ilde{A}_{2}$ groups. This approach generalizes to the setting of measurable circle bundles; in this context we prove cocycle versions of (A), (B) and (D). This is the first part of a broader project of studying superrigidity via generalized Weyl groups.

研究动机与目标

• 通过广义 Weyl 群建立超刚性现象的统一框架。
• 将 Ghys 关于高阶格在圆上的作用的定理推广到局部紧群的乘积。
• 建立共轭子群超刚性及 Š2 群的新超刚性定理。
• 通过可测圆丛框架将结果扩展到可测上循环。
• 利用边界理论和 Weyl 群结构，为 Ghys 原始定理提供更简短、更具概念性的证明。

提出的方法

• 定义与局部紧群 G 及其 G-边界 B 相关的广义 Weyl 群 W_{G,B}，利用系数的可均性和双重遍历性。
• 利用 W_{G,B} 的结构检测刚性：非循环的 Weyl 群意味着对 S¹ 上作用的强约束。
• 应用抽象边界理论和可测动力系统分析上循环的旋转数和不动点行为。
• 在可测截面空间上构造 G-不变的伪度量 D，从而导出紧致等距群和不变概率测度。
• 利用半共轭和旋转数分析，将非初等作用分类为扩展型或逼近型。
• 利用极小性和不变性排除无理旋转数，从而在非初等情况导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，格表示到 Homeo₊(S¹) 可以扩展到环境群？
• RQ2 广义 Weyl 群 W_{G,B} 的结构如何控制圆作用中的刚性？
• RQ3 能否以更概念化且可推广的方法重新证明 Ghys 定理？
• RQ4 对于局部紧群乘积中的格，哪些超刚性结果成立？
• RQ5 Š2 群是否对圆作用具有超刚性？若是，其机制如何？

主要发现

• 对于乘积 G = G₁ × ⋯ × Gₙ 中的不可约格（n ≥ 2），任何非初等作用在 S¹ 上，要么具有有限轨道，要么与通过 PSL₂(R) 的作用半共轭。
• 本文利用广义 Weyl 群和边界理论，为 Ghys 定理提供了更简短、更具概念性的证明。
• 通过同一框架，建立了广义局部紧群的共轭子群超刚性。
• 首次证明了 Š2 群的超刚性定理，其边界中的 Weyl 群包含 S₃。
• 对于可测上循环，相同的分类成立：非初等上循环要么是强逼近型，要么与通过 PSL₂(R) 的上循环半共轭。
• 关联提升的旋转数 τ 决定作用类型；无理 τ 会因 G-不变测度的存在而导出矛盾。