[论文解读] Supersingular abelian surfaces and Eichler class number formula

Jiangwei Xue, Tse-Chung Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文将艾希勒的类数公式推广至有限域 $fl_p$ 上的超奇异阿贝尔曲面的同构类数量计算，利用布兰特矩阵与表示论方法。对所有素数 $p$ 提供了显式公式，解决了端子代数为实二次域上完全定型四元数代数这一例外情形下的计数问题。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field with ring of integers $O_F$, and $D$ be a totally definite quaternion algebra over $F$. A well-known formula established by Eichler and then extended by Körner computes the class number of any $O_F$-order in $D$. In this paper we generalize the Eichler class number formula so that it works for arbitrary $\mathbb{Z}$-orders in $D$. The motivation is to count the isomorphism classes of supersingular abelian surfaces in a simple isogeny class over a prime finite field $\mathbb{F}_p$. We give explicit formulas for the number of these isomorphism classes for all primes $p$.

研究动机与目标

• 将艾希勒的类数公式推广至完全实域上完全定型四元数代数的任意 $fl$-序。
• 显式计算固定同源类中 $fl_p$-同构类的个数。
• 解决端子代数为实二次域上四元数代数的情形，此情形未被经典德林理论覆盖。
• 为同构类个数提供完整公式，对所有素数 $p$ 分离质量部分与椭圆部分。

提出的方法

• 利用布兰特矩阵的迹公式，将艾希勒的类数公式推广至完全实域上完全定型四元数代数的 $fl$-序。
• 运用本田-竹田理论，将 $p$-韦伊数与 $fl_p$ 上阿贝尔簇的同源类关联。
• 利用沃特豪斯理论，将 $R_0$-整理想类与固定同源类中阿贝尔簇的同构类关联。
• 通过布兰特矩阵的表示论解释，计算类数公式的质量部分与椭圆部分。
• 应用最优嵌入与局部不变量理论，计算全球域上布兰特矩阵的迹。
• 通过 Magma 软件对素数 $p < 200$ 进行显式计算以验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 艾希勒的类数公式如何推广至完全实域上完全定型四元数代数的任意 $fl$-序？
• RQ2 给定同源类中 $fl_p$-同构类的确切数量是多少？
• RQ3 当端子代数为实二次域上四元数代数时，类数公式的质量部分与椭圆部分如何表现？
• RQ4 是否能对所有素数 $p$（包括例外情形 $fl = fl_p$ 且 $F = fl(fl{p})$）显式表达同构类的数量？
• RQ5 $R_0$-整理想的类型结构是什么，它与序的类数有何关联？

主要发现

• 本文为所有素数 $p$ 提供了 $fl_p$-同构类的显式公式，计算超奇异阿贝尔曲面的同构类数量，推广了经典超奇异椭圆曲线的公式。
• 对于例外情形 $F = fl(fl{p})$ 为实二次域的情况，同构类的数量由类数公式的质量部分与椭圆部分之和给出。
• 质量项计算为 $rac{1}{2} ext{Tr}(B)$，其中 $B$ 为布兰特矩阵，椭圆部分用于计及额外的自同构。
• 表 1–3 列出了所有满足 $5 < p < 200$、$p eq 2, 3$ 且 $p eq 1 mod 4$ 的素数的类数 $h(fl_8)$、$h(fl_{16})$ 以及对应的质量部分与椭圆部分。
• 对于 $p = 13$，$R_0$-序为 $fl_8$ 的同源类中，同构类数量为 $h(fl_8) = 2$，质量部分为 $5/12$，椭圆部分为 $19/12$。
• 对于 $p = 193$，$h(fl_{16}) = 54$，质量部分为 $49$，椭圆部分为 $5$，表明类数随 $p$ 显著增长。