[论文解读] Supersingular genus-two curves over fields of characteristic three

Everett W. Howe|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过分析此类曲线到 $ j $-不变量为 0 的 supersingular 椭圆曲线的度数 3 映射，对特征为 3 的有限域上 supersingular 性别 2 曲线的 Weil 多项式进行了分类。利用模空间技术与显式模型，证明了除曲线 $ y^2 = x^5 + 1 $ 外，所有代数闭包 $ \mathbb{F}_3 $ 上的 supersingular 性别 2 曲线均恰好有 20 个非同构的度数 3 映射到该椭圆曲线，从而对所有满足 $ q = 3^d $ 的有限域 $ \mathbb{F}_q $ 完整确定了出现的 Weil 多项式。

ABSTRACT

Let C be a supersingular genus-2 curve over an algebraically closed field of characteristic 3. We show that if C is not isomorphic to the curve y^2 = x^5 + 1 then up to isomorphism there are exactly 20 degree-3 maps phi from C to the elliptic curve E with j-invariant 0. We study the coarse moduli space of triples (C,E,phi), paying particular attention to questions of rationality. The results we obtain allow us to determine, for every finite field k of characteristic 3, the polynomials that occur as Weil polynomials of supersingular genus-2 curves over k.

研究动机与目标

• 填补在特征为 3 的有限域上，包含 Jacobian 的阿贝尔曲面等价类分类中的空白，特别是针对 supersingular 等价类。
• 完成对所有满足 $ q = 3^d $ 的有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上 supersingular 性别 2 曲线的 Weil 多项式分类，此前在 $ d \leq 1 $ 时尚未完整。
• 建立一个模理论框架，用于研究特征为 3 时，从 supersingular 性别 2 曲线到 $ j = 0 $ 的 supersingular 椭圆曲线的度数 3 映射。
• 提供此类映射的粗模空间的显式方程与有理性结果，从而实现对出现的 Weil 多项式的分类。
• 解决特征为 3 时的 supersingular 等价类问题，完成此前假设特征 $ > 3 $ 的研究工作。

提出的方法

• 本文构造了三元组 $ (C, E, \varphi) $ 的粗模空间 $ \mathcal{A} $，其中 $ C $ 是 supersingular 性别 2 曲线，$ E $ 是 $ j = 0 $ 的 supersingular 椭圆曲线，$ \varphi: C \to E $ 是度数 3 的映射。
• 通过 2-挠射和 Weil 配对的结构，建立了 $ \mathcal{A} $ 与对 $ (C, G) $ 的粗模空间 $ \mathcal{B} $ 的同构，其中 $ G $ 是 $ (\operatorname{Jac} C)[2] $ 中的非退化阶 4 子群。
• 给出了 $ \mathcal{A} $ 和 $ \mathcal{B} $ 的显式模型，表明 $ \mathcal{A} $ 同构于去掉一个点的仿射直线，且映射 $ \mathcal{A} \to \mathcal{S} $（到 supersingular 性别 2 曲线的模空间）的次数为 20。
• 利用 Igusa 不变量 $ [J_2 : J_4 : J_6 : J_8 : J_{10}] $，通过条件 $ J_2 = J_4 = J_8 = 0 $ 来刻画特征为 3 时的 supersingular 性别 2 曲线，并证明 $ \mathcal{S} \cong \mathbb{A}^1 $。
• 通过分析伽罗瓦群在相关有理函数根上的作用，特别是利用函数 $ F(z) = \frac{(z^9 - z)^5}{(z^9 - z)^{36}} $，解决了有理性问题，并证明了其在有限域上的分裂行为。
• 使用关键引理，如涉及 $ \mathbb{F}_q $ 上多项式迹与分裂性的结论，例如 $ z^r - z - c $ 和 $ (z^{r-1} + 1)^{(r+1)/2} - e z^{r(r-1)/2} $，以建立有理性与解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为 3 的有限域上，supersingular 性别 2 曲线的 Weil 多项式有哪些？
• RQ2 除了 $ y^2 = x^5 + 1 $ 外，一个 supersingular 性别 2 曲线（在特征为 3 时）到 $ j $-不变量为 0 的 supersingular 椭圆曲线的非同构度数 3 映射有多少条？
• RQ3 此类度数 3 映射的粗模空间的结构是怎样的？它与 supersingular 性别 2 曲线的模空间有何关系？
• RQ4 如何利用有限域上的有理性条件来判断阿贝尔曲面的哪些等价类包含 Jacobian？
• RQ5 2-挠射子群与 Weil 配对在分类这些映射与曲线中起什么作用？

主要发现

• 对于每个满足 $ q = 3^d $ 的有限域 $ \mathbb{F}_q $，本文完整列出了 supersingular 性别 2 曲线所出现的 Weil 多项式，具体取决于 $ d $ 的奇偶性。
• 当 $ d $ 为奇数时，Weil 多项式为：$ (x^2 + q)(x^2 - s x + q) $，其中 $ s = \pm \sqrt{3q} $；$ (x^2 + q)^2 $（若 $ q > 3 $）；$ x^4 + q^2 $；$ x^4 + q x^2 + q^2 $；以及 $ x^4 - 2q x^2 + q^2 $（若 $ q > 3 $）。
• 当 $ d $ 为偶数时，Weil 多项式为：$ (x^2 - 2s x + q)(x^2 + s x + q) $，其中 $ s = \pm \sqrt{q} $；$ (x^2 - s x + q)^2 $，其中 $ s = 0, \pm \sqrt{q} $；$ (x^2 - 2s x + q)^2 $，其中 $ s = \pm \sqrt{q} $（若 $ q > 9 $）；$ x^4 + q^2 $；以及 $ x^4 - s x^3 + q x^2 - s q x + q^2 $，其中 $ s = \pm \sqrt{q} $。
• 除曲线 $ y^2 = x^5 + 1 $ 外，所有代数闭包 $ \mathbb{F}_3 $ 上的 supersingular 性别 2 曲线均恰好有 20 个非同构的度数 3 映射到 $ j = 0 $ 的 supersingular 椭圆曲线。
• 此类映射的粗模空间 $ \mathcal{A} $ 同构于 $ \mathbb{A}^1 \setminus \{0\} $，且自然映射 $ \mathcal{A} \to \mathcal{S} $（到 supersingular 性别 2 曲线的模空间）的次数为 20。
• 特征为 3 时，supersingular 性别 2 曲线的模空间 $ \mathcal{S} $ 同构于仿射直线 $ \mathbb{A}^1 $，且 supersingularity 条件由 Igusa 不变量中的 $ J_2 = J_4 = J_8 = 0 $ 表征。