[论文解读] Supersymmetric field theories and cohomology

Pokman Cheung|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本论文为1-和2-维超对称量子场论的范畴构建了分类空间，证明其分类空间分别实现周期性KO-上同调与椭圆上同调（具体为Tate曲线）。通过使用超范畴和具有超几何时结构的 bordism 范畴，作者证明了Stolz-Teichner的(1|1)维超欧几里得场论（度数为n）的分类空间代表KO_n或K_n，而环形场论则给出K_Tate谱的第n个空间。

ABSTRACT

This is the Ph.D. dissertation of the author. The project has been motivated by the conjecture that the Hopkins-Miller tmf spectrum can be described in terms of `spaces' of conformal field theories. In this dissertation, spaces of field theories are constructed as classifying spaces of categories whose objects are certain types of field theories. If such a category has a symmetric monoidal structure and its components form a group, by work of Segal, its classifying space is an infinite loop space and defines a cohomology theory. This has been carried out for two classes of field theories: (i) For each integer n, there is a category SEFT_n whose objects are the Stolz-Teichner (1|1)-dimensional super Euclidean field theories of degree n. It is proved that the classifying space |SEFT_n| represents degree-n K or KO cohomology, depending on the coefficients of the field theories. (ii) For each integer n, there is a category AFT_n whose objects are a kind of (2|1)-dimensional field theories called `annular field theories,' defined using supergeometric versions of circles and annuli only. It is proved that the classifying space |AFT_n| represents the degree-n elliptic cohomology associated with the Tate curve. To the author's knowledge, this is the first time the definitions of low-dimensional supersymmetric field theories are given in full detail.

研究动机与目标

• 通过超对称量子场论的空间，提供上同调理论的几何与范畴构造。
• 通过将其与共形场论关联，填补椭圆上同调理论（特别是tmf谱）缺乏几何解释的空白。
• 利用超几何时结构，明确定义并严格构造(1|1)维超欧几里得场论与(2|1)维环形场论的范畴。
• 证明这些范畴的分类空间产生已知的上同调理论：KO-上同调与椭圆上同调。
• 在文献中首次提供低维超对称场论的完整、详尽定义。

提出的方法

• 通过超范畴之间的函子，定义(1|1)维超欧几里得场论（度数为n）的对称张量范畴SEFT_n。
• 使用超几何时版本的圆周与圆柱体构造bordism范畴，作为环形场论的基础。
• 通过带有Clifford模结构和张量积的装饰bordism，定义'环形场论'的范畴AFT_n。
• 利用Segal定理：若对称张量范畴的分量为群状，则其分类空间为无限循环空间，从而定义一个上同调理论。
• 证明分类空间|SEFT_n|同伦等价于KO-上同调或K-上同调的第n个空间，具体取决于场论的系数。
• 证明分类空间|AFT_n|同伦等价于与Tate曲线相关的椭圆谱K_Tate的第n个空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个(1|1)维超欧几里得场论范畴的分类空间能否实现周期性KO-上同调或K-上同调？
• RQ2 通过超几何时环面定义的(2|1)维环形场论范畴能否实现椭圆上同调？
• RQ3 能否通过共形场论的空间，几何地构造tmf谱？
• RQ4 如何利用超范畴与bordism范畴，在低维中严格定义超对称场论？
• RQ5 场论范畴的代数结构与所得上同调理论之间的确切关系是什么？

主要发现

• 分类空间|SEFT_n|同伦等价于KO-上同调或K-上同调的第n个空间，具体取决于场论的系数。
• 分类空间|AFT_n|同伦等价于与Tate曲线相关的椭圆谱K_Tate的第n个空间。
• 该构造在文献中首次提供了(1|1)维超对称场论的完整、详尽定义。
• 证明了范畴SEFT_n是具有群状分量的对称张量范畴，满足Segal无限循环空间构造的条件。
• 环形场论范畴AFT_n通过超几何时bordism与装饰的Clifford模结构构建，实现了椭圆上同调的几何实现。
• 结果建立了场论范畴与已知上同调理论之间的直接联系，为椭圆上同调与tmf相关谱提供了几何解释。