[论文解读] Supersymmetric field theories and geometric Langlands: The other side of the coin

Aswin Balasubramanian, J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文通過將幾何朗蘭茲對應關係識別為含表面算子的推廣AGT對應關係的Nekrasov-Shatashvili極限，建立了一個統一框架，將超對稱 gauge 理論、共形場論（CFT）與幾何朗蘭茲程式聯繫起來。結果顯示，這些對偶性透過以Hitchin模空間為目標流形的二維sigma模型實現，並透過非阿貝爾Hodge對應關係與N=4 SYM的拓撲扭轉，提供了量子幾何朗蘭茲對偶性的物理實現。

ABSTRACT

This note announces results on the relations between the approach of Beilinson and Drinfeld to the geometric Langlands correspondence based on conformal field theory, the approach of Kapustin and Witten based on $N=4$ SYM, and the AGT-correspondence. The geometric Langlands correspondence is described as the Nekrasov-Shatashvili limit of a generalisation of the AGT-correspondence in the presence of surface operators. Following the approaches of Kapustin - Witten and Nekrasov - Witten we interpret some aspects of the resulting picture using an effective description in terms of two-dimensional sigma models having Hitchin's moduli spaces as target-manifold.

研究动机与目标

• 統一幾何朗蘭茲背景下的Beilinson-Drinfeld CFT方法、Kapustin-Witten的N=4 SYM方法與AGT對應關係。
• 透過仿射Kac-Moody代數共形塊中的退化表示，將幾何朗蘭茲對應關係從opers推廣至一般不可約局部系統。
• 透過以Hitchin模空間為目標流形的有效二維sigma模型，解釋所得對偶框架。
• 釐清表面算子與Nekrasov-Shatashvili極限在實現量子幾何朗蘭茲對偶性中的角色。
• 連結非阿貝爾Hodge對應關係與複Fenchel-Nielsen座標，以實現規範理論中朗蘭茲對偶性的物理實現。

提出的方法

• 利用含表面算子的推廣AGT對應關係的Nekrasov-Shatashvili極限，推導幾何朗蘭茲對應關係。
• 應用非阿貝爾Hodge（NAH）對應關係，透過調和度量與全純ǫ-連線，將Higgs束（E, ϕ）與平坦連線（∇ζ,R）關聯。
• 透過Ward恆等式與U(ˆg−h∨)的中心，構造BunG上的D-模，作為仿射李代數ˆg在臨界級k = −h∨處的共形塊。
• 運用Hitchin的可積系統，將模空間MH(G)描述為H0(C, K²)上的環纏層，其中哈密頓量參數化基座座標。
• 使用複Fenchel-Nielsen座標（ar, κr）參數化單值表示變體MB(G)，其具有自然的泊松結構{ar, κs} = δrs。
• 對Σ×C上的N=4 SYM實施拓撲扭轉，以實現Kapustin-Witten方法，透過holonomy表示將平坦連線與局部系統關聯。

实验结果

研究问题

• RQ1 幾何朗蘭茲對應關係如何作為含表面算子的推廣AGT對應關係的Nekrasov-Shatashvili極限出現？
• RQ2 Hitchin模空間作為目標流形，在透過二維sigma模型實現對偶性時扮演何種角色？
• RQ3 一般不可約LG-局部系統（超越opers）如何在Beilinson-Drinfeld的共形塊構造中實現？
• RQ4 非阿貝爾Hodge對應關係在幾何朗蘭茲背景下如何在Higgs束與平坦連線之間建立橋樑？
• RQ5 複Fenchel-Nielsen座標與NAH對應關係如何實現量子幾何朗蘭茲對偶性模式？

主要发现

• 一般不可約LG-局部系統的幾何朗蘭茲對應關係，透過在奇點處插入退化表示的ˆg−h∨共形塊實現，拓展了基於opers的構造。
• 推廣AGT對應關係的Nekrasov-Shatashvili極限產生了完整的幾何朗蘭茲對應關係，包含非opers局部系統。
• Higgs束的模空間MH(G)作為有效二維sigma模型的目標空間，實現了對偶性，Hitchin的哈密頓量提供了自然座標。
• 非阿貝爾Hodge對應關係將Higgs對（E, ϕ）映射至平坦連線∇ζ,R，其中ǫ-連線∇′ǫ = ǫ∂E,h + ϕ作為全純極限出現。
• 複Fenchel-Nielsen座標（ar, κr）在單值表示變體MB(G)上提供達布座標，其泊松括號為{ar, κs} = δrs，並與MH(G)的辛結構相關聯。
• NAH對應關係下MH(LG)中點(u, 0)的像由具有實holonomy的連線組成，與opers軌道離散相交，支持對偶性模式。