[论文解读] Supersymmetric gauge theories on the lattice: Pfaffian phases and the Neuberger 0/0 problem

Dhagash Mehta, Simon Catterall+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 15

一句话总结

本文研究了在格点上二维 ${\cal N}=(2,2)$ 超对称杨-米尔斯理论中的费米子符号问题，表明该问题源于使用指数（紧致）规范链接参数化时的内伯格 $0/0$ 问题。研究证明，切换到非紧致参数化可消除符号问题，即使在粗网格上亦然，从而从理论上将符号问题与格点实现中贝奇-鲁埃特-斯托拉-图京对称性的破缺联系起来。

ABSTRACT

Recently a class of supersymmetric gauge theories have been successfully implemented on the lattice. However, there has been an ongoing debate on whether lattice versions of some of these theories suffer from a sign problem, with independent simulations for the ${\cal N} = (2, 2)$ supersymmetric Yang-Mills theories in two dimensions yielding seemingly contradictory results. Here, we address this issue from an interesting theoretical point of view. We conjecture that the sign problem observed in some of the simulations is related to the so called Neuberger 0/0 problem, which arises in ordinary non-supersymmetric lattice gauge theories, and prevents the realization of Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry on the lattice. After discussing why we expect a sign problem in certain classes of supersymmetric lattice gauge theories far from the continuum limit, we argue that these problems can be evaded by use of a non-compact parametrization of the gauge link fields.

研究动机与目标

• 研究二维 ${\cal N}=(2,2)$ SYM 在格点上关于费米子符号问题的模拟结果存在矛盾的根源。
• 确定符号问题是否为规范链接参数化的产物，特别是对比指数（紧致）与非紧致表示。
• 检验符号问题在这些理论中是否为内伯格 $0/0$ 问题的延伸，该问题在格点上阻碍了 BRST 对称性。
• 证明通过非紧致参数化规范链接可避免符号问题，从而实现可靠的格点模拟。

提出的方法

• 作者使用费米子矩阵的 Pfaffian 分析格点路径积分，符号问题源于 Pfaffian 的相位。
• 他们比较了两种规范链接参数化方式：指数（紧致）与非紧致，后者位于李代数中，避免了群拓扑问题。
• 他们采用相位压制的蒙特卡洛模拟，配合反周期费米子边界条件，并测量 Pfaffian 的平均相位角 $\alpha$。
• 添加一个质量项 $\mu \sum_n \text{Tr}[(U_a^\dagger({\bf n})U_a({\bf n}) - 1)^2]$ 以稳定场波动，并允许外推至 $\mu \to 0$。
• 模拟使用无量纲耦合 $\kappa = (NT^2)/(2\lambda\beta^2)$，并改变格点尺寸 $L = T$ 从 2 到 12 以趋近连续极限。
• 计算 Pfaffian 相位 $\alpha$ 和 $\langle |\sin \alpha| \rangle$ 的直方图，以量化符号问题的严重程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维 ${\cal N}=(2,2)$ SYM 在格点上的费米子符号问题是否依赖于规范链接场的参数化方式？
• RQ2 在使用指数规范链接的模拟中观察到的符号问题是否为内伯格 $0/0$ 问题的表现？
• RQ3 通过使用规范场的非紧致参数化能否避免符号问题？
• RQ4 非紧致实现中符号问题的缺失是否意味着在格点上对超对称规范理论进行非微扰研究的可行路径？

主要发现

• 对于规范链接的非紧致参数化，在最粗网格（$L=2$）上也未观察到符号问题，表现为 $\langle |\sin \alpha| \rangle$ 稳定且数值较小。
• 在指数（紧致）参数化下，符号问题在远离连续极限时变得严重，表现为显著波动和非零的平均相位角。
• 在指数情况下，符号问题在有限格点间距时最为严重，仅在连续极限下减弱，与内伯格 $0/0$ 问题作为格点效应的结论一致。
• 非紧致参数化避免了与群流形相关的拓扑障碍，从而规避了与内伯格 $0/0$ 问题相关的符号问题。
• 结果支持该猜想：此类格点超对称理论中的符号问题，是内伯格 $0/0$ 问题的扩展版本。
• 数值模拟证实符号问题具有参数化依赖性，非紧致场即使在有限格点间距下也能实现可靠模拟。