[论文解读] Supersymmetric gauge theories, quantisation of M$_{flat}$, and conformal field theory

Jörg Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用 3

一句话总结

本文建立了四维 N=2 类 S 超对称 gauge 理论、黎曼曲面上 PSL(2,R)-平坦联络模空间的量子化，以及 Liouville 二维共形场论之间的深刻联系。它表明 gauge 理论中拓扑算符（Wilson 与 't Hooft 算符）的代数对应于平坦联络模空间上的迹函数代数，且在 Omega 背景下的非交换变形与模空间的量子化完全匹配。关键结果是：AGT 对应关系自然地源于算符与迹函数之间的对应，Liouville 理论中的共形块实现了对量子化代数的表示，从而通过超对称与量子化统一了 gauge 理论、几何与 CFT。

ABSTRACT

This is the 11th article in the collection of reviews 'Exact results in N=2 supersymmetric gauge theories', ed. J. Teschner. It describes an approach to understanding the 4d/2d relations discovered by Alday, Gaiotto and Tachikawa by establishing a triangle of relations between the zero mode quantum mechanics obtained by localisation of class $\cal S$ theories, the quantum theory obtained by quantisation of Hitchin moduli spaces, and conformal field theory.

研究动机与目标

• 通过黎曼曲面上 PSL(2,R)-平坦联络模空间的量子化，解释 AGT 对应关系。
• 将类 S gauge 理论中拓扑算符生成的代数与平坦联络模空间上的迹函数代数相联系。
• 证明在 Omega 背景下，该代数的非交换形变与模空间的量子化精确匹配。
• 证明 Liouville 理论中的共形块自然实现为迹函数代数的量子化表示。
• 通过超对称与量子化，将 AGT 对应关系与类 S 理论中 S duality、Teichmüller 理论及量子几何的数学结构统一起来。

提出的方法

• 本文采用类 S 构造，将四维 N=2 gauge 理论与带 puncture 的黎曼曲面 C 及其三价图 Γ 关联起来。
• 将超对称算符代数识别为平坦 PSL(2,R)-联络模空间 M_flat(C) 上迹函数 Lγ = νγ tr(ρ(γ)) 的代数。
• 证明该代数在 Omega 变形下的非交换性，精确匹配由 Fenchel-Nielsen 坐标复化所诱导的 M_flat(C) 的量子变形。
• 本文采用 Fock-Goncharov 坐标，将迹函数表达为单值矩阵的迹，其中 Lγ = |tr(Xγ)| = 2 cosh(lγ/2)。
• 利用 skein 关系与 Poisson 对代数与几何结构进行关联，其中 {Lγ1, Lγ2} = LA(γ1,γ2)，A 为反对称平滑操作。
• 通过证明 Liouville 理论中的共形块实现量子化代数的表示，推导出 AGT 对应关系，其中多项式关系 P(Ls, Lt, Lu) = 0 编码了模空间的代数约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 类 S N=2 gauge 理论的 instanton 分区函数如何通过平坦联络模空间的量子化与 Liouville 共形块相关联？
• RQ2 gauge 理论中超对称算符代数与 M_flat(C) 上迹函数代数之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 Omega 变形如何在算符代数上诱导出与 M_flat(C) 量子化精确匹配的非交换结构？
• RQ4 Liouville 理论中的共形块以何种方式实现为迹函数代数的量子化表示？
• RQ5 类 S 理论中的 S duality 如何在不同裤分解及其相关迹函数代数之间的对偶性中体现？

主要发现

• gauge 理论中由超对称 Wilson 与 't Hooft 算符生成的代数，同构于平坦 PSL(2,R)-联络模空间 M_flat(C) 上的迹函数代数 Lγ = νγ tr(ρ(γ))。
• 在 Omega 变形下，算符代数的非交换性精确匹配由 Fenchel-Nielsen 坐标 (l, k) 复化为 (l, k) ∈ C × C 所诱导的 M_flat(C) 的量子变形。
• 迹函数满足 skein 关系 Lγ1Lγ2 = LS(γ1,γ2)，其中 S 为对称平滑操作，且 Poisson 对 {Lγ1, Lγ2} = LA(γ1,γ2) 成立，A 为反对称平滑操作，与 Atiyah-Bott 辛结构一致。
• 当 C = C0,4 时，迹函数 Ls, Lt, Lu 满足代数关系 P(Ls, Lt, Lu) = 0，其中 P 为显式给出的四次多项式，涉及边界测地线长度 Li。
• Fock-Goncharov 坐标通过 Xγ = VσrE(zer)⋯Vσ1E(ze1) 参数化迹函数，其中 Lγ = |tr(Xγ)| = 2 cosh(lγ/2)，且 Poisson 对 {Xτe, Xτe′} = ne,e′ Xτe′ Xτe 以共享面为单位表达。
• Liouville 理论中的共形块为迹函数代数的量子化表示提供了酉表示，AGT 对应关系由算符代数与迹函数代数之间的同构，以及未破缺超对称的实现共同导出。