[论文解读] Supersymmetric Integrable Hierarchies and String Theory

Sonia Stanciu|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 1994

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用 4

一句话总结

本博士论文利用形式超伪微分算子和泊松结构，发展了超对称Lax形式形式，建立了三个超对称KP族（MRSKP、$σ$KP2、JSKP）。证明了在所有三种情况下，附加对称代数同构于超微分算子的李代数，并将sKdV-B族识别为双哈密顿系统，通过引入奇流扩展了该系统，提出了与非临界超弦理论相关的新型超对称KdV型可积系统。

ABSTRACT

This thesis is roughly organized into two parts. The first one (the first three chapters), expository in nature, attempts to place the current work in context: at first historically, but then focusing on the Lax formalism and the Adler--Gel'fand--Dickey scheme for hierarchies of the KdV type. The second part (the last four chapters) comprises the main body of this work. It begins by developing the supersymmetric Lax formalism, introducing the ring of formal superpseudodifferential operators and the associated Poisson structures. We discuss three supersymmetric extensions of the KP hierarchy (MRSKP, \SKP2, and JSKP). We define and compute their additional symmetries and we find that the algebra of additional symmetries are in all three cases isomorphic to the Lie algebra of superdifferential operators. We discuss a new reduction of \SKP2 and the relation between MRSKP and \SKP2 is clarified. Finally we consider the (so far) only integrable hierarchy to have played a role in noncritical superstring theory (sKdV-B). We identify it, prove its bihamiltonian integrability, and extend it by odd flows. We close with a discussion of new integrable supersymmetrizations of the KdV-like hierarchies suggested by the study of sKdV-B. (This is the author's PhD Thesis from the Physics Deparment of the University of Bonn, July 1994.)

研究动机与目标

• 将超对称可积族的研究置于弦理论和数学物理的背景下。
• 利用形式超伪微分算子及其相关泊松结构，发展Lax形式的超对称推广。
• 分析三个超对称KP族（MRSKP、$σ$KP2、JSKP）并确定其附加对称代数。
• 阐明MRSKP与$σ$KP2之间的关系，并提出$σ$KP2的新约化。
• 识别并扩展sKdV-B族——此前与非临界超弦理论相关——证明其为双哈密顿系统，并通过奇流实现可积性扩展。

提出的方法

• 利用形式超伪微分算子环及其相关泊松结构构建形式体系。
• 将Lax形式推广至超对称情形，从而构造超对称可积系统的族。
• 利用超伪微分算子框架定义并计算附加对称。
• 分析附加对称的代数结构，证明其同构于超微分算子的李代数。
• 通过其哈密顿算子和泊松括号，将sKdV-B族识别为双哈密顿系统。
• 引入奇流以扩展sKdV-B族，保持可积性并揭示新的超对称KdV型系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在MRSKP、$σ$KP2和JSKP等超对称KP型族中，附加对称的结构是什么？
• RQ2 MRSKP与$σ$KP2族之间有何关系？能否一致地定义$σ$KP2的新约化？
• RQ3 与非临界超弦理论相关的sKdV-B族是否为双哈密顿系统且可积？
• RQ4 sKdV-B族能否通过奇流一致扩展，以产生新的可积系统？
• RQ5 通过研究sKdV-B族，会涌现出哪些新的超对称KdV型族的一般化？

主要发现

• MRSKP、$σ$KP2和JSKP的附加对称代数同构于超微分算子的李代数。
• 构造了一种$σ$KP2的新约化，澄清了其结构及其与其他超对称族的关系。
• 证明了sKdV-B族为双哈密顿系统，确认了其可积性及其与非临界超弦理论的相关性。
• 通过奇流扩展了sKdV-B族，保持其可积性并揭示了新的超对称结构。
• 本研究提出了新的可积超对称化KdV型族，其灵感源于sKdV-B的结构。