[论文解读] Supersymmetric partition functions on Riemann surfaces

Francesco Benini, Alberto Zaffaroni|BOA (University of Milano-Bicocca)|May 19, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用 63

一句话总结

本文提出了一种紧凑且精确的公式，用于计算在亏格为 $g$ 的黎曼曲面 $\backslashSigma_g$ 上进行部分拓扑扭转的 2d $\mathcal{N}=(2,2)$、3d $\mathcal{N}=2$ 和 4d $\mathcal{N}=1$ 规范理论在 $\backslashSigma_g \times T^n$ 上的超对称路径积分。通过超对称局部化方法，作者推导出一个通用表达式，其中包含贝特方程（Bethe Ansatz Equations）和杰弗里-基尔万留数（Jeffrey-Kirwan residues），该公式推广了此前针对 $g=0$ 的结果，并可用于新形式的对偶性检验以及 AdS$_4$ 中黑洞熵的计算。

ABSTRACT

We present a compact formula for the supersymmetric partition function of 2d N=(2,2), 3d N=2 and 4d N=1 gauge theories on $Σ_g imes T^n$ with partial topological twist on $Σ_g$, where $Σ_g$ is a Riemann surface of arbitrary genus and $T^n$ is a torus with n=0,1,2, respectively. In 2d we also include certain local operator insertions, and in 3d we include Wilson line operator insertions along $S^1$. For genus g=1, the formula computes the Witten index. We present a few simple Abelian and non-Abelian examples, including new tests of non-perturbative dualities. We also show that the large N partition function of ABJM theory on $Σ_g imes S^1$ reproduces the Bekenstein-Hawking entropy of BPS black holes in AdS$_4$ whose horizon has $Σ_g$ topology.

研究动机与目标

• 将超对称路径积分从球面（$g=0$）推广至任意亏格的黎曼曲面 $\backslashSigma_g$。
• 为在 $\backslashSigma_g \times T^n$ 上的 2d、3d 和 4d $\mathcal{N}$-超对称规范理论构建统一的路径积分计算框架，包含拓扑扭转。
• 引入味荷流、扭曲的切向算符（2d）、威尔逊线（3d），并计算 $g=1$ 时的威滕指数。
• 将该形式化方法应用于检验非微扰对偶性，并计算 ABJM 理论中 AdS$_4$ 的黑洞熵。
• 推导出一个通用公式，其中包含贝特方程与杰弗里-基尔万留数，适用于高亏格紧化情形。

提出的方法

• 应用超对称局部化，将路径积分约化为对 BPS 配置的有限维积分。
• 在 $\backslashSigma_g$ 上采用部分拓扑扭转，以保留一半的超对称性，使 R 对称性与自旋联络耦合。
• 引入背景荷流：$\backslashmathfrak{n}$ 为 $\backslashSigma_g$ 上的磁荷流，$v$ 为 $T^n$ 上味对称性的复生成子（fugacities）。
• 引入局部算符插入：2d 中的扭曲切向算符与 3d 中的威尔逊线，以丰富路径积分的结构。
• 推导出一个通用公式：$Z = \sum_{u=u_{(\alpha)}} Z_{\text{cl,1l}} \cdot \left( \det \frac{\partial B_a}{\partial u_b} \right)^{g-1}$，其中 $B_a$ 由有效作用量导出。
• 通过求解贝特方程 $e^{iB_a} = 1$ 确定鞍点集合 $u_{(\alpha)}$，并确保范德蒙德行列式非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将超对称路径积分从 $g=0$ 推广至任意亏格 $g$ 的黎曼曲面？
• RQ2 在 $\backslashSigma_g \times T^n$ 上，2d、3d 和 4d $\mathcal{N}$-超对称规范理论的超对称路径积分是否存在通用结构？
• RQ3 味荷流与生成子如何影响路径积分及其模形式性质？
• RQ4 在 $\backslashSigma_g \times S^1$ 上的路径积分是否能重现 AdS$_4$ 中 BPS 黑洞的贝肯斯坦-霍金熵？
• RQ5 如何在局部化框架中一致地包含算符插入（扭曲切向算符、威尔逊线）？

主要发现

• 在 $\backslashSigma_g \times T^n$ 上的路径积分由贝特方程解的集合给出，其权重为一个行列式因子的 $g-1$ 次幂。
• 当 $g=1$ 时，该公式计算出威滕指数，验证了其在连续形变下的不变性。
• ABJM 理论在 $\backslashSigma_g \times S^1$ 上的大 $N$ 路径积分重现了具有 $\backslashSigma_g$ 事件视界拓扑的 BPS 黑洞的贝肯斯坦-霍金熵。
• 该形式化方法为 3d 和 4d $\mathcal{N}$-理论中的非微扰对偶性提供了新的精确检验。
• 在 2d 中引入扭曲切向算符、在 3d 中引入威尔逊线，扩展了局部化框架在丰富可观测量中的适用范围。
• 该推导将杰弗里-基尔万留数方法推广至高亏格黎曼曲面，同时考虑了路径积分中额外的零模式。