[论文解读] Supersymmetric quantum mechanics based on higher excited states II: a few examples of isospectral partner potentials

Marko Robnik, Junxian Liu|ArXiv.org|Mar 14, 1997

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过利用高于基态的激发态构造等谱伙伴势，将超对称量子力学进行扩展，证明该形式化方法可生成无穷多类新的可解势。该方法被应用于一维基本系统——谐振子、开普勒问题、Morse势、Pöschl-Teller势及无限深阱，结果表明除无限深阱外，其余系统均产生新的可解势；而无限深阱的伙伴势则为Pöschl-Teller类型I的特例。

ABSTRACT

We apply the generalized formalism and the techniques of the supersymmetric (susy) quantum mechanics to the cases where the superpotential is generated/defined by higher excited eigenstates (Robnik 1997, paper I). The generalization is technically almost straightforward but physically quite nontrivial since it yields an infinity of new classes of susy-partner potentials, whose spectra are exactly identical except for the lowest $n+1$ states, if the superpotential is defined in terms of the $(n+1)$-st eigenfunction, with $n=0$ reserved for the ground state. First we show that there are practically no possibilities for shape invariant potentials based on higher excited states. Then we calculate the isospectral partner potentials for the following 1-dim potentials (after separation of variables where appropriate): (i) 3-dim (spherically symmetric) harmonic oscillator, (ii) 3-dim (isotropic) Kepler problem, (iii) Morse potential, (iv) Pöschl-Teller type I potential, and (v) the 1-dim box potential. In all cases except in (v) we get new classes of solvable potentials. In (v) the partner potential to the box potential is a special case of Pöschl-Teller type I potential. potentials. In this paper we present results of a straightforward further application of this formalism to a few most important exactly solvable 1-dim potentials, namely (i) spherically symmetric 3-dim harmonic oscillator, (ii) 3-dim isotropic (spherically symmetric) Kepler potential, (iii) Morse potential, (iv) Pöschl-Teller type I potential, and (v) 1-dim box potential. PACS numbers: 03.65.-w, 03.65.Ge, 03.65.Sq

研究动机与目标

• 将超对称量子力学的形式化从基态推广至更高激发态。
• 探究能否从更高激发态构造形状不变势。
• 系统推导基本一维精确可解量子体系的等谱伙伴势。
• 识别该推广形式化所引出的新一类可解势。
• 通过该框架阐明无限深阱与Pöschl-Teller类型I势之间的关系。

提出的方法

• 不再以基态为依据，而是从第(n+1)个激发态波函数定义超势，其中n ≥ 1。
• 使用标准超对称量子力学形式化，从超势构造伙伴哈密顿量H±。
• 通过关系式V+(x) = W²(x) - W'(x)从超势W(x)推导出伙伴势V+(x)。
• 在径向变量分离后，将该形式化应用于三维球对称体系。
• 通过证明除最低n+1个能级外，能谱完全相同，验证等谱性。
• 分析所得伙伴势的可解性与结构特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于更高激发态的超对称量子力学能否生成新的等谱势类？
• RQ2 在该形式化中使用激发态时，是否存在任何形状不变势？
• RQ3 在该扩展形式化下，三维简谐振子与开普勒问题的等谱伙伴势是什么？
• RQ4 该超对称构造下，无限深阱如何变换？
• RQ5 该框架中，Pöschl-Teller类型I势能否被导出为无限深阱的伙伴势？

主要发现

• 当超势由更高激发态定义时，该形式化成功生成了无穷多类新的等谱伙伴势。
• 在由更高激发态构造的势类中未发现形状不变势，表明该方法在构造此类对称性势时存在根本性局限。
• 对于三维各向同性谐振子，该方法产生了一类新的可解伙伴势。
• 三维开普勒问题的等谱伙伴势同样为一类新的可解势，且与原势不同。
• Morse势与Pöschl-Teller类型I势在此构造下均产生新的可解等谱伙伴势。
• 无限深阱的等谱伙伴势被识别为Pöschl-Teller类型I势的一个特例，确认了一个已知但此前未系统推导出的结果。