[论文解读] Supersymmetric Spacetimes from Curved Superspace

Sergei M. Kuzenko|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于在非守恒超重力中构建刚性超对称时空的超空间形式化方法，利用弯曲超空间背景几何实现未破缺的超对称性。通过要求超空间中存在闭合于有限维李超代数的Killing向量场，该方法系统地生成了超对称解，并表明最大超对称时空是共形平坦的，且超Weyl张量或超Cotton张量为零。

ABSTRACT

We review the superspace technique to determine supersymmetric spacetimes in the framework of off-shell formulations for supergravity in diverse dimensions using the case of 3D N=2 supergravity theories as an illustrative example. This geometric formalism has several advantages over other approaches advocated in the last four years. Firstly, the infinitesimal isometry transformations of a given curved superspace form, by construction, a finite-dimensional Lie superalgebra, with its odd part corresponding to the rigid supersymmetry transformations. Secondly, the generalised Killing spinor equation, which must be obeyed by the supersymmetry parameters, is a consequence of the more fundamental superfield Killing equation. Thirdly, general rigid supersymmetric theories on a curved spacetime are readily constructed in superspace by making use of the known off-shell supergravity-matter couplings and restricting them to the background chosen. It is the superspace techniques which make it possible to generate arbitrary off-shell supergravity-matter couplings. Fourthly, all maximally supersymmetric Lorentzian spaces correspond to those off-shell supergravity backgrounds for which the Grassmann-odd components of the superspace torsion and curvature tensors vanish, while the Grassmann-even components of these tensors are annihilated by the spinor derivatives.

研究动机与目标

• 开发一种几何框架，用于在不同维度中利用非守恒超重力确定刚性超对称时空。
• 表明超对称背景对应于具有非平凡等距性（形成有限维超代数）的弯曲超空间。
• 建立格拉斯曼奇数挠率和曲率分量消失与超对称性最大化的直接联系。
• 证明在弯曲时空上的一般刚性超对称场论可通过非守恒超重力-物质耦合的限制来构建。
• 通过超Weyl张量或超Cotton张量的消失，阐明最大超对称时空中共形平坦性的几何起源。

提出的方法

• 利用非守恒超空间形式化，将超对称背景定义为允许特定类型Killing向量场（3.35式）的弯曲超空间。
• 将超场Killing方程作为基本条件，由此可推导出广义Killing旋量方程作为其推论。
• 分析格拉斯曼奇数分量的挠率和曲率张量消失作为最大超对称性的判据。
• 应用旋量导数条件，以消除最大超对称背景中格拉斯曼偶数分量的曲率和挠率。
• 通过将已知的非守恒超重力-物质耦合限制在特定弯曲超空间背景上，构建刚性超对称场论。
• 采用Weyl不变的引力形式化方法，以几何一致的方式定义等距性和共形等距性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过超空间几何，从非守恒超重力系统地推导出刚性超对称时空？
• RQ2 超场Killing方程在生成超对称代数中的几何作用是什么？
• RQ3 为何在3D ${\cal N}=2$, ${\cal N}=3$ 和 4D ${\cal N}=1$ 超重力理论中，最大超对称时空表现出共形平坦性？
• RQ4 超空间形式化如何在不引入人为假设的情况下确保刚性超对称代数的闭合性？
• RQ5 对超Cotton张量和超Weyl张量施加何种条件，可导致最大超对称背景中Weyl张量的消失？

主要发现

• 最大超对称洛伦兹时空对应于非守恒超重力背景，其中格拉斯曼奇数分量的挠率和曲率消失。
• 在最大超对称背景下，格拉斯曼偶数分量的挠率和曲率被旋量导数消除。
• 在4D ${\cal N}=1$ 超重力中，超Weyl张量消失，意味着最大超对称时空的共形平坦性。
• 在3D ${\cal N}=2$ 超重力中，最大超对称解的超Cotton张量 $W_{\alpha\beta\gamma}$ 消失，导致共形平坦性。
• 在3D ${\cal N}=3$ 超重力中，最大超对称背景下的旋量超场 $W_{\alpha}$ 消失，再次意味着共形平坦性。
• 该形式化方法允许生成任意非守恒超重力-物质耦合，从而通过背景限制在弯曲时空中构建刚性超对称场论。