[论文解读] Supersymmetrizing 5d instanton operators

Diego Rodrı́guez-Gómez, Johannes Schmude|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过将四维的拓扑扭变推广至五维，利用在 $\mathbb{R}^5 \setminus \{0\}$ 上的 conformal Killing spinor 结构与 $SU(2)_R$ 背景 gauge 场，构建了五维 instanton 算符的超对称版本。关键结果是显式构造了保留部分超对称性的超对称 Yang 单极子解，方法是将单极子嵌入一个扭变的超对称 gauge 理论中，其中 $SU(2)_R$ bundle 作为背景 instanton 起作用。

ABSTRACT

We construct a supersymmetric version of instanton operators in five-dimensional Yang-Mills theories. This is possible by considering a five-dimensional generalization of the familiar four-dimensional topologically twisted theory, where the gauge configurations corresponding to instanton operators are supersymmetric.

研究动机与目标

• 通过将四维拓扑扭变推广至五维，构造经典上非超对称的五维 instanton 算符的超对称版本。
• 证明当耦合到非平凡的 $SU(2)_R$ 背景 gauge 场时，五维 Yang-Mills 理论中的 Yang 单极子构型可保留部分超对称性。
• 通过将超对称孤子实现为局部算符，建立研究五维超对称 gauge 理论中增强全局对称性的框架。
• 利用 $S^4$ 和 $\mathbb{R}^5 \setminus \{0\}$ 上的 conformal Killing spinor，提供超对称 Yang 单极子的几何与代数构造。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^5$ 上使用 conformal $\mathcal{N}=2$ 超重力，将五维 gauge 理论耦合到背景 $SU(2)_R$ gauge 场，实现在弯曲背景下的超对称性。
• 通过非平凡的 $SU(2)_R$ 连接实现拓扑扭变，使超对称旋量在 $S^4$ 上成为 chiral 的 conformal Killing 旋量，从而保持超对称性。
• 使用 $S^4$ 上的 $\xi$-坐标构造 gauge 场构型，通过求解 $F = \pm \star_{S^4} F$ 且 $s = -1$，并利用函数 $f^\pm = (1 \mp \cos\theta)/2$ 定义 $A_i^\pm$。
• 通过矩阵 $B_{ij}$ 和向量 $\vec{b}^\pm$ 定义单极子连接，满足 $\partial_i b_j^\pm - \partial_j b_i^\pm + [b_i^\pm, b_j^\pm] = 0$ 以及 $[b_i^\pm, b_j^\pm] = \pm \frac{4}{(1+\vec{\xi}^2)} \epsilon^{ijk} b_k^\pm$。
• 通过将泡利矩阵替换为 $N$-维 $SU(2)$ 表示，将单极子嵌入 $SU(N)$ gauge 群，得到瞬子数 $\propto N(N^2-1)$。
• 利用超重力的刚性极限在 $\mathbb{R}^5$ 上定义超对称 gauge 理论，其超对称变分涉及协变导数与 $SU(2)_R$ 连接。

实验结果

研究问题

• RQ1 五维 Yang 单极子构型能否通过广义拓扑扭变实现超对称性？
• RQ2 $SU(2)_R$ 背景 gauge 场在五维中对瞬子类孤子的超对称性保持中起什么作用？
• RQ3 如何通过 $\mathbb{R}^5 \setminus \{0\}$ 的共形结构，特别是共形 Killing 向量 $r\partial_r$，实现超对称解的构造？
• RQ4 超对称 Yang 单极子能否用于探测五维超对称 gauge 理论中的增强全局对称性？
• RQ5 五维超对称 instanton 算符的显式代数与几何结构是什么？

主要发现

• 本文通过引入非平凡的 $SU(2)_R$ 背景 gauge 场（作为背景 instanton）实现了五维 Yang 单极子的超对称版本，从而使得 conformal Killing 旋量存在。
• 超对称性得以保持，因为超对称旋量相对于共形 Killing 向量 $r\partial_r$ 是 chiral 的，该向量虽非 Killing 向量但为共形 Killing 向量，因此需使用 conformal $\mathcal{N}=2$ 超重力。
• gauge 场构型通过 $A_i^\pm = f^\pm(\theta) b_i^\pm$ 显式求解，其中 $f^\pm = (1 \mp \cos\theta)/2$，在 $S^4$ 的北半球与南半球分别给出单极子。
• 瞬子数为 $I = \frac{1}{8\pi^2} \text{Tr} \int_{S^4} F \wedge F = N(N^2 - 1)$，当嵌入 $SU(N)$ 时，确认了该解的拓扑荷。
• 该构造使用了 $S^4$ 的 $\xi$-坐标参数化，并定义了满足所需自对偶性与平坦性条件的矩阵 $B_{ij}$ 与向量 $\vec{b}^\pm$。
• 理论定义在 $\mathbb{R}^5 \setminus \{0\}$ 上，该设定等价于在 $\mathbb{R} \times S^4$ 上的理论的共形变换，其中 $SU(2)_R$ bundle 非平凡，对拓扑结构有贡献。