[论文解读] Supersymmetry and Localization on Three-Dimensional Orbifolds

Matteo Inglese, Dario Martelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

该论文在包括小锥面 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$、分支和压扁的透镜空间，以及加速黑洞的共形边界在内的三维轨道丛背景上，计算了 3D ${\mathcal{N}}=2$ 超对称场论的精确分划函数。通过局部化方法，推导出一个统一的“小锥面指标”，该指标推广了精化超共形指标和拓扑扭曲指标，在移除轨道丛奇点的极限下成立。

ABSTRACT

We consider three-dimensional ${\mathcal N}=2$ supersymmetric field theories defined on general complex-valued backgrounds of Euclidean new minimal supergravity admitting two Killing spinors of opposite $R$-charges. We compute partition functions for theories defined on general circle bundles over spindles $Σ$, including $Σ imes S^1$ as well as branched and squashed lens spaces, thus obtaining novel observables characterizing three-dimensional supersymmetric gauge theories. We discuss both twisted and anti-twisted theories compactified on $Σ imes S^1$ and demonstrate that their partition functions are encoded by a single formula that we refer to as the spindle index, unifying and generalizing superconformal and topologically twisted indices in the limit where orbifold singularities are absent. Furthermore, we test our new index using non-perturbative dualities and obtain one-loop determinants of two-dimensional supersymmetric gauge theories compactified on the spindle.

研究动机与目标

• 在具有轨道丛奇点的紧致复值背景下，计算 3D ${\mathcal{N}}=2$ 超对称规范理论的精确分划函数。
• 识别并分析包括 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$（带扭量与反扭量）、分支透镜空间和压扁透镜空间在内的超对称背景。
• 推导出一个统一的指标——称为“小锥面指标”——在光滑极限下插值于精化超共形指标与拓扑扭曲指标之间。
• 通过非微扰对偶性测试新指标，为全息对偶与场论对偶提供精确检验。

提出的方法

• 将局部化应用于带有扭量与反扭量的 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$ 背景，将路径积分约化为对 BPS 配置的有限维积分。
• 利用等变轨道丛指标定理计算旋节多重态的一阶修正行列式，正确处理奇异空间上的未配对本征值。
• 将作用量中的经典项与有效项分离，通过规范变换简化局部化轨迹，推导出有效作用量。
• 将分划函数用特殊函数（包括多重 zeta 函数与 gamma 函数）表示，以处理轨道丛结构与规范通量。
• 通过取 $S^1$ 半径趋于无穷大，推导出小锥面指标，在光滑极限下恢复已知指标。
• 通过压扁三维球面的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 约化，将构造推广至分支与压扁透镜空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有两个 Killing 旋量的通用轨道丛背景下，计算 3D ${\mathcal{N}}=2$ 超对称场论的分划函数？
• RQ2 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$ 背景下同时具有扭量与反扭量时，其超对称背景的结构是怎样的？它如何影响局部化轨迹？
• RQ3 是否可以构造一个单一指标，在光滑流形极限下统一精化超共形指标与拓扑扭曲指标？
• RQ4 非微扰对偶性如何约束并检验轨道丛几何上的所提出分划函数？
• RQ5 在全息对偶与黑洞微观态计数的背景下，轨道丛奇点起什么作用？

主要发现

• 通过局部化方法，精确计算了带有扭量与反扭量的 $\mathbb{\Sigma} \times S^1$ 背景下的分划函数，得到一个统一表达式，称为“小锥面指标”。
• 在移除轨道丛奇点、几何趋于光滑的极限下，小锥面指标退化为精化超共形指标。
• 通过压扁三维球面的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 约化，推导出分支与压扁透镜空间上的分划函数，扩展了该方法的适用范围。
• 利用等变轨道丛指标定理计算旋节多重态的一阶修正行列式，正确处理了奇异空间上的未配对本征值。
• 通过规范变换推导出有效经典作用量，简化了局部化计算，并在光滑极限下与已知结果保持一致。
• 结果通过非微扰对偶性进行了检验，包括涉及有效 $U(1)$ Chern-Simons 理论的对偶性，确认了新指标的一致性。