[论文解读] Supertask Computation

Joel David Hamkins|ArXiv.org|Dec 3, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文引入了无限时间图灵机（ITTMs），这是一种将经典图灵机扩展至无穷序数时间的超任务计算模型，使原本不可计算的函数得以计算。其主要贡献在于证明ITTMs能够判定停机问题及其他不可判定问题，揭示了一个丰富的无限时间度层次结构，扩展了经典可计算性理论。

ABSTRACT

Infinite time Turing machines extend the classical Turing machine concept to transfinite ordinal time, thereby providing a natural model of infinitary computability that sheds light on the power and limitations of supertask algorithms.

研究动机与目标

• 通过将经典图灵机扩展至无穷序数时间，形式化一种允许超任务——即涉及无限多步的计算——的计算模型。
• 研究此类模型在解决经典可计算性理论无法触及的问题（如停机问题）方面的计算能力。
• 建立一个类似于经典图灵度层次的无限时间度层次结构，但扩展至包含无穷时间计算。
• 将ITTMs模型与其他无穷计算模型（如BSS机、高阶递归理论和量子图灵机）进行比较。
• 探讨无限时间可计算性结构的基底问题，包括经典定理（如Sacks稠密性定理）的类比是否存在。

提出的方法

• 通过允许计算在无穷序数阶段（以极限序数为索引）进行，扩展经典图灵机模型。
• 定义三类实数：可写实数、最终可写实数以及在某极限阶段可写实数，以表征计算过程中可访问的信息。
• 引入可计时序数的概念——即可以作为计算长度达到的序数——构成该模型的基础结构。
• 使用无限时间优先级论证构造满足特定要求的实数集，类似于递归理论中经典的优先级方法。
• 将该模型应用于相对论性时空，通过时间膨胀模拟超任务，表明从运动观察者的视角，无限搜索可在有限时间内完成。
• 将ITTMs模型与其他模型进行比较：BSS机（无限精度）、高阶递归理论（序数递归）和量子图灵机（基于叠加的并行性）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相对论性时空中，如超任务计算能否解决停机问题及其他不可判定问题？
• RQ2 无限时间图灵度的结构是怎样的？与经典图灵度结构相比有何异同？
• RQ3 Sacks稠密性定理在无限时间可计算性背景下是否成立？
• RQ4 无限时间图灵机在计算能力上在多大程度上超越了量子图灵机？
• RQ5 可写实数、最终可写实数与可写实数的类之间，与无限时间计算层次结构有何关系？

主要发现

• 无限时间图灵机能够判定停机问题，证明超任务计算超越了经典可计算性的界限。
• 该模型引入了一个丰富的无限时间度层次结构，其中可写实数的结构是经典可计算性理论的真正扩展。
• 存在不可数多个可写实数，它们在长度为α的计算的任何阶段均不可写，表明新信息持续涌现。
• 该模型满足某种形式的Post问题：在无限时间度结构中，0与停机问题之间存在中间度。
• 无限时间度结构在某些方面与经典度理论相似（如存在极小度），但在其他方面不同，例如存在不可数多个可写实数。
• 尽管量子图灵机能够实现指数级加速，但无法判定不可判定问题，因此在计算能力上严格弱于无限时间图灵机。