[论文解读] Supertropical Monoids: Basics, Canonical Factorization, and Lifting Ghosts to Tangibles

Zur Izhakian, Manfred Knebusch+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文将超热带半环推广为超热带幺半群，建立了传输范畴 STROPₘ，并证明在该范畴中，TE-关系下的商恒存在。关键贡献在于，从任意超热带幺半群可构造出一个典范的超热带半环，从而解决了超赋值理论中的开放问题，包括通过近似可表提升构造将幽灵元素提升为可表元素。

ABSTRACT

Supertropical monoids are a structure slightly more general than the supertropical semirings, which have been introduced and used by the first and the third authors for refinements of tropical geometry and matrix theory in [IR1]-[IR3], and then studied by us in a systematic way in [IKR1]-[IKR3] in connection with "supervaluations". In the present paper we establish a category $\STROP_m$ of supertropical monoids by choosing as morphisms the "transmissions", defined in the same way as done in [IKR1] for supertropical semirings. The previously investigated category $STROP$ of supertropical semirings is a full subcategory of $STROP_m.$ Moreover, there is associated to every supertropical monoid $V$ a supertropical semiring $\hat V$ in a canonical way. A central problem in [IKR1]-[IKR3] has been to find for a supertropical semiring $U$ the quotient $U/E$ by a "TE-relation", which is a certain kind of equivalence relation on the set $U$ compatible with multiplication (cf. [IK1, Definition 4.5]). It turns out that this quotient always exists in $\STROP_m$. In the good case, that $U/E$ is a supertropical semiring, this is also the right quotient in $\STROP.$ Otherwise, analyzing $(U/E)^\wedge,$ we obtain a mild modification of $E$ to a TE-relation $E'$ such that $U/E' = (U/E)^\wedge$ in $\STROP.$ In this way we now can solve various problems left open in [IKR1], [IKR2] and gain further insight into the structure of transmissions and supervaluations. Via supertropical monoids we also obtain new results on totally ordered supervaluations and monotone transmissions studied in [IKR3].

研究动机与目标

• 将超热带半环推广为超热带幺半群，将范畴 STROP 扩展为 STROPₘ。
• 解决超赋值理论中的开放问题，特别是TE-关系下商的存在性与结构。
• 为任意超热带幺半群提供一个典范的超热带半环构造，促进幽灵元素向可表元素的提升。
• 将近似可表提升的超赋值表征为支配给定超赋值的最小超赋值。
• 建立有序超热带幺半群与m-超赋值的框架，丰富热带几何与赋值理论。

提出的方法

• 将超热带幺半群定义为带有幽灵映射 ν: U → U 的结构，该映射满足幂等性且满足 a + a = ν(a)，从而推广超热带半环。
• 引入传输作为 STROPₘ 中的态射，保持幽灵映射与乘法结构，从而扩展范畴 STROP。
• 通过典范商化过程，从任意超热带幺半群 Y 构造其关联的超热带半环 Ŷ。
• 利用 TE-关系 的概念定义 STROPₘ 中的商，证明其恒存在，并在商为良态时得到超热带半环。
• 将超赋值 φ 的近似可表提升 φ̌ 定义为 (φ̃)̂，即可表提升 φ̃ 的典范商，确保 φ̌ 为超赋值。
• 证明近似可表提升 φ̌ 是支配 φ 的最小超赋值，从而解决幽灵元素向可表元素提升的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个超热带半环上的 TE-关系是否在商恒存在的范畴中存在商？
• RQ2 当超热带半环 U 关于 TE-关系 E 的商 U/E 本身不是超热带半环时，该商能否被提升为超热带半环？
• RQ3 如何系统性地将超赋值中的幽灵元素提升为精化超赋值中的可表元素？
• RQ4 支配给定超赋值的最小超赋值是什么？其表征方式如何？
• RQ5 在何种条件下，超赋值的近似可表提升与其原始形式一致？

主要发现

• 每个 TE-关系 E 下的商 U/E 在超热带幺半群范畴 STROPₘ 中均存在。
• 若 U/E 不是超热带半环，则 (U/E)̂ 是一个超热带半环，且存在修改后的 TE-关系 E′ 使得 U/E′ = (U/E)̂，从而解决了 [IKR1]–[IKR3] 中长期存在的问题。
• 超赋值 φ 的近似可表提升 φ̌ 是一个超赋值，且是支配 φ 的最小此类超赋值。
• 近似可表提升 φ̌ 满足 G(φ̌) = v(𝔮′)，其中 𝔮′ 是在赋值 v 下非可约元集的原像。
• 当 v 为赋值时（即 M 可约），近似可表提升 φ̌ 与可表提升 φ̃ 一致。
• 对任意满射可表 m-超赋值 φ: R → U，有 φ(R∖𝔮′) = T(U)，且 φ(Y(v)) = S(U)，其中 S(U) 为 U 中可表非可约积的集合。