[论文解读] Supplementary difference sets with symmetry for Hadamard matrices

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在有限交换群中提出了具有对称或反对称性质的新补充差集（SDS），通过 Goethals–Seidel 数阵构造了此前未知的 188、244 和 508 阶反对称 Hadamard 矩阵。研究引入了五组新的在阶为 25、27 和 49 的初等阿贝尔群上的多循环 Williamson 矩阵，并构造了一个新的 (127,57,76) 差集族，由此得到一个 508 阶反对称 Hadamard 矩阵和一个具有相同参数的 BIBD。

ABSTRACT

First we give an overview of the known supplementary difference sets (SDS) (A_i), i=1..4, with parameters (n;k_i;d), where k_i=|A_i| and each A_i is either symmetric or skew and k_1 + ... + k_4 = n + d. Five new Williamson matrices over the elementary abelian groups of order 25, 27 and 49 are constructed. New examples of skew Hadamard matrices of order 4n for n=47,61,127 are presented. The last of these is obtained from a (127,57,76)-difference family that we have constructed. An old non-published example of G-matrices of order 37 is also included.

研究动机与目标

• 通过探索具有对称类型 (ksss)、(kkss) 和 (kkks) 的补充差集（SDS），将反对称 Hadamard 矩阵的构造扩展至已知循环 Williamson 矩阵之外。
• 在阶为 49 的初等阿贝尔群 $F_{49}$ 上构造新的 49 阶多循环 Williamson 矩阵，提供与 Wilson 构造非等价的实例。
• 构造一个新的 $(127,57,76)$ 差集族，从而生成一个 508 阶反对称 Hadamard 矩阵和一个平衡不完全区组设计（BIBD）。
• 恢复并呈现一个关于 37 阶 $G$-矩阵的旧未发表实例，丰富了已知的反对称型 Hadamard 矩阵列表。

提出的方法

• 使用 Goethals–Seidel 数阵，从有限交换群 $\mathcal{A}$（阶为 $n$）中的补充差集（SDS）导出的 $n\times n$ 二元矩阵四元组，构造 $4n$ 阶 Hadamard 矩阵。
• 补充差集 $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ 定义为参数 $(n; k_1,k_2,k_3,k_4; \lambda)$，满足 $\lambda = \sum k_i - n$，以确保所得矩阵为 Hadamard 矩阵。
• 每个 $A_i$ 必须为对称（$A_i = -A_i$）或反对称（$\mathcal{A} = A_i \cup -A_i \cup \{0\}$）形式，对称类型（如 (ksss)）用于分类 SDS。
• 从 $A_i$ 的特征函数构造二元矩阵 $A_i^c$，其性质确保 Goethals–Seidel 数阵生成 Hadamard 矩阵。
• 对于素数 $n=127$，构造使用 $\mathbb{Z}_{127}^*$ 中子群 $H=\{1,2,4,8,16,32,64\}$ 的陪集，索引集定义了三个对称块。
• 该方法结合经典的 Paley 反对称差集与一个新的 $(127,57,76)$ 差集族，生成一种新型 (ks**) 类型的 SDS，从而得到一个 508 阶反对称 Hadamard 矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出具有对称类型 (ksss)、(kkss) 或 (kkks) 的新补充差集，以生成此前未知的反对称 Hadamard 矩阵？
• RQ2 在阶为 $5^2$、$3^3$ 和 $7^2$ 的初等阿贝尔群中，是否存在非循环且非等价的 (ssss) 类型 SDS，可生成多循环 Williamson 矩阵？
• RQ3 能否构造一个 $(127,57,76)$ 差集族，以生成一个 508 阶反对称 Hadamard 矩阵？
• RQ4 在 $\mathbb{Z}_{127}^*$ 中的陪集结构在实现高对称性与最优参数的对称 SDS 构造中起到何种作用？
• RQ5 SDS 的对称类型如何影响其关联的反对称 Hadamard 矩阵的结构与存在性？

主要发现

• 构造了五组新的多循环 Williamson 矩阵：两组 25 阶，两组 27 阶，一组 49 阶，均在初等阿贝尔群上。
• 从参数为 $(47;23,21,19,19;35)$ 且类型为 (ks**) 的 SDS 构造出一个新的 188 阶反对称 Hadamard 矩阵，其中第一个块为 $\mathbb{Z}_{47}$ 中平方的典型反对称差集。
• 从参数为 $(61;30,28,27,24;48)$ 且类型为 (k**s) 的循环 SDS 构造出一个新的 244 阶反对称 Hadamard 矩阵，证实了 $n=61$ 时此类矩阵的存在性。
• 从一个 $(127,57,76)$ 差集族构造出一个新的 508 阶反对称 Hadamard 矩阵，该差集族同时生成一个具有相同参数的平衡不完全区组设计（BIBD）。
• 针对 $n=127$ 的新 SDS 使用 $\mathbb{Z}_{127}^*$ 中子群 $H=\{1,2,4,8,16,32,64\}$ 的陪集，索引集 $J_1, J_2, J_3$ 定义了三个对称块，且该构造与先前方法不等价。
• 恢复并包含了一个关于 37 阶 $G$-矩阵的旧未发表实例，丰富了已知的反对称型 Hadamard 矩阵列表。