[论文解读] Supplementary Variable Method for Developing Structure-Preserving Numerical Approximations to Thermodynamically Consistent Partial Differential Equations

Yuezheng Gong, Qi Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用 5

一句话总结

本论文提出补充变量法（SVM）以构建热力学一致偏微分方程（特别是梯度流）的能量产生率保持型数值格式。通过引入一个补充变量来稳定过定方程组，该方法确保了离散能量耗散的一致性，在较大时间步长下相比现有方法在精度和效率方面表现更优，并展现出更优的守恒性质。

ABSTRACT

We present a new temporal discretization paradigm for developing energy-production-rate preserving numerical approximations to thermodynamically consistent partial differential equation systems, called the supplementary variable method. The central idea behind it is to introduce a supplementary variable to the thermodynamically consistent model to make the over-determined equation system, consisting of the thermodynamically consistent PDE system, the energy definition and the energy dissipation equation, structurally stable. The supplementary variable allows one to retain the consistency between the energy dissipation equation and the PDE system after the temporal discretization. We illustrate the method using a dissipative gradient flow model. Among virtually infinite many possibilities, we present two ways to add the supplementary variable in the gradient flow model to develop energy-dissipation-rate preserving algorithms. Spatial discretizations are carried out using the pseudo-spectral method. We then compare the two new schemes with the energy stable SAV scheme and the fully implicit Crank-Nicolson scheme. The results favor the new schemes in the overall performance. This new numerical paradigm can be applied to any thermodynamically consistent models.

研究动机与目标

• 解决热力学一致PDE过定系统中的结构性不稳定性问题，即在时间半离散化下能量耗散与PDE动力学可能失去一致性。
• 发展一种系统性的数值范式，确保在离散层面保持能量产生率（即能量耗散率）。
• 克服现有方法（如凸分裂法和稳定化方法）的局限性，这些方法在离散能量与PDE演化之间缺乏保证的一致性。
• 提出一种可推广的框架，适用于任何热力学一致模型，不仅限于梯度流。
• 与Sav-CN和FICN等成熟格式相比，展示出在精度和计算效率方面的优越性能。

提出的方法

• 在梯度流系统中引入补充变量 α(t)，将过定系统转化为结构稳定的系统。
• 将能量耗散方程与PDE系统重新表述为一个更大的、一致的系统，其中包含能量定义和补充变量。
• 采用伪谱方法进行空间半离散化，以保持高精度和谱收敛性。
• 对扩展系统应用时间半离散化，确保离散能量耗散方程可由离散PDE推导得出，从而保持能量稳定性。
• 通过不同方式将补充变量引入能量泛函，构造两种变体：SVM-I 和 SVM-II。
• 在每个时间步求解一个标量非线性方程以更新补充变量，从而维持能量演化与PDE动力学之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否引入补充变量以稳定热力学一致PDE的过定系统，确保时间半离散化后保持结构一致性？
• RQ2 如何在不依赖凸分裂或人工稳定化的情况下，保持离散格式中的能量耗散率？
• RQ3 与Sav-CN和FICN等成熟方法相比，所提格式在计算效率与精度之间的权衡如何？
• RQ4 补充变量法能否推广至梯度流以外的其他热力学一致模型？
• RQ5 在保持快速粗化动力学精确解析的前提下，新格式能容忍多大的时间步长？

主要发现

• 所提出的SVM-I与SVM-II格式即使在大时间步长下也能准确保持总体积和能量耗散率，精度显著优于Sav-CN格式。
• SVM-II在 τ = 2.0e-4 时间步长下成功模拟出正确动力学，而Sav-CN在 τ = 3.125e-6 时已失效，表明时间步长鲁棒性显著提升。
• 补充变量 α(t) 在初始瞬态波动后迅速趋近于零，证实其作为稳定辅助变量的作用，未引入虚假动力学。
• SVM-I与SVM-II的CPU耗时低于全隐式Crank-Nicolson（FICN）格式，但高于Sav-CN格式，原因在于每个时间步需求解一个标量非线性方程。
• 与FICN相比，该格式展现出更优的计算效率；与Sav-CN相比，精度更高，尤其在解析快速粗化动力学方面表现优异。
• SVM-I与SVM-II计算得到的能量演化在所有测试时间步长下均与参考解高度吻合，证实了长期稳定性和一致性。