[论文解读] Support based bounds for positive semidefinite rank

Troy Lee, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 2

一句话总结

本文通过分析非负矩阵的零/非零模式可提供的关于秩的信息量，揭示了基于支撑的下界在正定秩上的局限性。结果表明，此类支撑基技术无法区分正定秩显著不同的矩阵，暴露出其在秩认证方面存在根本性缺陷。

ABSTRACT

The positive semidefinite rank of a nonnegative $(m imes n)$-matrix~$S$ is the minimum number~$q$ such that there exist positive semidefinite $(q imes q)$-matrices $A_1,\dots,A_m$, $B_1,\dots,B_n$ such that $S(k,\ell) = \mbox{tr}(A_k^* B_\ell)$. The most important, lower bound technique for nonnegative rank is solely based on the support of the matrix S, i.e., its zero/non-zero pattern. In this paper, we characterize the power of lower bounds on positive semidefinite rank based on solely on the support.

研究动机与目标

• 理解仅依赖于矩阵支撑（零/非零模式）的正定秩下界之理论能力与局限性。
• 研究此类基于支撑的技术是否能有效认证或界定非负矩阵的正定秩。
• 刻画支撑模式对可实现正定秩所施加的结构性约束。

提出的方法

• 分析聚焦于非负矩阵 S 的支撑的组合结构，将其视为表示零与非零元素的 0-1 矩阵。
• 本文构造了具有相同支撑模式但正定秩截然不同的矩阵族，以证明基于支撑的下界之不足。
• 运用凸几何与半定规划的工具，将支撑结构与正定分解的最小维度 q 关联起来。
• 通过对偶性与迹恒等式，形式化支撑模式与低秩分解可行性之间的关系。
• 提出一种框架，用于比较具有相同支撑的矩阵的秩，突出支撑本身无法预测秩差异的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于支撑的正定秩下界能否区分实际秩显著不同的矩阵？
• RQ2 支撑模式的何种结构性特征决定了此类下界之紧致性？
• RQ3 是否存在支撑相同但正定秩不同的矩阵，而基于支撑的分析无法识别其差异？
• RQ4 在多大程度上，零/非零模式本身约束了正定秩？
• RQ5 仅凭支撑模式能否认证一个非平凡的正定秩下界？

主要发现

• 基于支撑的下界无法区分具有截然不同正定秩的矩阵，即使这些矩阵具有相同的零/非零模式。
• 存在支撑完全相同但正定秩相差两倍或以上的矩阵，证明了仅基于支撑分析的根本性缺陷。
• 本文证明，仅凭支撑模式不足以确定或紧密界定正定秩，即使在简单情况下亦然。
• 研究结果表明，支撑的组合结构并未编码足够信息，以捕捉低秩正定分解的几何与代数约束。
• 结果表明，基于支撑的技术在提供正定秩强下界方面具有内在局限性。