[论文解读] Support is Search

Alexander V. Gheorghiu|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2026

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一句话总结

本论文表明，固定基中的支撑与在二阶继承 Harrop 逻辑程序中的证明搜索等价，使语义在计算上具有建构性和局部性。它给出一个将语义支撑与逻辑程序执行联系起来的正确性与完备性定理，并讨论反实在论基础。

ABSTRACT

Sandqvist's base-extension semantics for intuitionistic propositional logic defines a support relation parametrised by atomic bases, with validity identified as support in every base. Sandqvist's completeness theorem answers the global question: which formulae are valid? This paper addresses the local question: given a fixed base, what does support in that base correspond to? We show that support in a fixed base coincides with proof-search in a second-order hereditary Harrop logic program, via an encoding of formulae as logic-programming goals. This encoding proceeds by reading the semantic clauses in continuation-passing style, revealing that the universal quantifiers over base extensions and atoms appearing in those clauses are not domain-ranging quantifiers over a completed totality, but eigenvariables governed by a standard freshness discipline. Base-extension semantics thereby admits a fully constructive and computationally transparent interpretation: support is proof-search. The result complements Sandqvist's global theorem with a local correspondence, vindicates the anti-realist foundations of the framework on its own terms, and opens the way for implementing the semantics in modelling tasks.

研究动机与目标

• 激发证明理论语义学计划和反现实主义基扩展框架。
• 澄清局部性问题：在固定基中的支撑在计算上对应什么？
• 提供一个将基扩展语义的建构性、可执行解释，即证明搜索。
• 将框架扩展到支持原子上二阶量化的计算编码。
• 证明局部支撑与在逻辑程序设定中的统一证明搜索相一致。

提出的方法

• 定义原子系统和更高层次的原子系统，以将基扩展规则捕获为逻辑程序子句。
• 使用带有特征变量规则的二阶逻辑程序设计来处理无限的示意基。
• 通过语义子句的 CPS 风格翻译，将 IPL 公式编码为逻辑程序目标。
• 证明正确性与完备性：Vdash_B phi 当且仅当 B |-O [[phi]] 在操作语义下成立。
• 保持单调性引理并使用 CPS 解释来为普遍量化的建构性阅读提供理由。

实验结果

研究问题

• RQ1 Vdash_B phi 与逻辑程序中的证明搜索推导之间的精确对应关系是什么？
• RQ2 更高层次原子规则和二阶量化如何影响局部性与全局结果？
• RQ3 是否可以给出完全建构性、计算性的基扩展语义解释，而不削弱结构？
• RQ4 局部对应是否与 Sandqvist 的全局完备性定理互补？
• RQ5 在建模任务中实现基扩展语义有哪些实现意义？

主要发现

• 固定基 B 的支撑等价于二阶 hereditary Harrop 程序中的统一证明搜索。
• 语义子句中的全称量化受特征变量纪律控制，而非领域范围量化。
• 编码 [[phi]] 产生中性公式，确保操作语义能够推导出与语义支撑相同的结论。
• 对连接词的 CPS 风格编码阐明如何将语义子句转换为可执行的逻辑程序子句。
• 局部正确性与完备性：对于任意固定基 B，Vdash_B phi 当且仅当 B |-O [[phi]] 成立。