[论文解读] Support Recovery and $\ell_2$-Error Bound for Sparse Regression with Quadratic Measurements via Weakly-Convex-Concave Regularization

Jun Fan, Ling Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2026

Numerical methods in inverse problems被引用 0

一句话总结

该论文分析用弱凸-凹正则化的稀疏回归在平方测量下的有限样本性质，证明局部极小点的支持恢复与 ℓ₂ 误差界，并提出近端梯度算法。

ABSTRACT

The recovery of unknown signals from quadratic measurements finds extensive applications in fields such as phase retrieval, power system state estimation, and unlabeled distance geometry. This paper investigates the finite sample properties of weakly convex--concave regularized estimators in high-dimensional quadratic measurements models. By employing a weakly convex--concave penalized least squares approach, we establish support recovery and $\ell_2$-error bounds for the local minimizer. To solve the corresponding optimization problem, we adopt two proximal gradient strategies, where the proximal step is computed either in closed form or via a weighted $\ell_1$ approximation, depending on the regularization function. Numerical examples demonstrate the efficacy of the proposed method.

研究动机与目标

• 用平方测量的稀疏回归及其应用动机（相位获取、功率系统状态估计、距离几何）。
• 引入一类弱凸-凹惩罚（WCCP）以在统计效率与计算可行性之间取得平衡。
• 建立 WCCP 正则化损失的局部极小点的非渐进保证（支持恢复与 ℓ₂ 误差）。
• 开发具有针对 WCCP 正则化器的收敛性保证的近端梯度算法。
• 提供数值证据，显示所提方法在稀疏相位获取场景中的有效性。

提出的方法

• 将正则化最小二乘问题表述为 minβ L(β) + Pλ(β) 的形式，Pλ 为弱凸–凹惩罚。
• 采用两种近端梯度策略；某些惩罚的近端步为闭式解，或通过加权 ℓ1 近似计算。
• 使用两种固定点刻画极小点：proxτPλ(β̂) = β̂ − τ∇L(β̂) 和一个加权阈值化形式。
• 实现 Armijo 线搜索以自适应步长并确保收敛。
• 提出迭代方案（算法 1 与算法 2），将近端映射与重加权 ℓ1 代理相结合。
• 给出理论收敛性结果，确保单调下降与固定点性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 WCCP 正则化估计量能在高维平方测量模型中恢复真实稀疏支持吗？
• RQ2 对于 WCCP 正则化目标的局部极小点，可以建立哪些有限样本的 ℓ₂ 误差界？
• RQ3 在设计矩、正则化、噪声等条件下，所提算法何时收敛到有意义的驻点？
• RQ4 WCCP 基方法在稀疏二次回归中与 LASSO 和其他非凸惩罚相比，在统计与计算上有何差异？
• RQ5 对具有已知平方链接的稀疏相位获取与单变量指标模型有哪些含义？

主要发现

• 定理 2 给出非渐近保证：在若干条件下，局部极小点能够以高概率恢复真实支持，并达到一个随 n 增大而消失的 ℓ₂ 误差界 rₙ。
• Oracle 估计量分析（定理 1）显示在关于 √(ln(1+2n)/n) 与 λnρ/√s 的误差界下的一致性。
• 所提的 WCCP 框架包含常见惩罚项（SCAD、MCP、LOG、EXP、Firm），并表现出良好的有限样本性能。
• 给出两种具收敛性保证的近端梯度算法，便于实际计算 WCCP 正则化估计量。
• 数值实验表明 SCAD 与 MCP 在准确性和计算效率方面优于 LASSO 与其他基线，尤其当 n/d 接近 1 时，在稀疏相位获取中表现良好。