[论文解读] Support theorems for the Radon transform and Cramér-Wold theorems

Jan Boman, Filip Lindskog|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过利用分布理论中Radon变换的单射性定理，将Cramér-Wold定理推广至在原点附近具有无限质量的测度。研究建立了关于支撑于紧凸集外部或凸锥中的测度及其序列的新唯一性与收敛性结果，并通过反例证明了假设的最优性。

ABSTRACT

This article presents extensions of the Cram{é}r-Wold theorem to measures that may have infinite mass near the origin. Corresponding results for sequences of measures are presented together with examples showing that the assumptions imposed are sharp. The extensions build on a number of results and methods concerned with injectivity properties of the Radon transform. Using a few tools from distribution theory and Fourier analysis we show that the presented injectivity results for the Radon transform lead to Cram{é}r-Wold type results for measures. One purpose of this article is to contribute to making known to probabilists interesting results for the Radon transform that have been developed essentially during the 1980ies and 1990ies.

研究动机与目标

• 解决当测度在原点附近具有无限质量时，Cramér-Wold定理中唯一性缺失的问题，特别是在极值理论与极限定理中的应用。
• 将经典的Cramér-Wold结果推广至可能不是概率测度的符号测度与非负测度。
• 提供在原点不包含于半空间时，测度由其在这些半空间上的取值唯一确定的条件，尤其针对凸集或凸锥外部的情形。
• 基于半空间分布函数，建立此类测度序列的收敛性准则。
• 通过涉及齐次分布与径向函数的反例，证明假设的最优性。

提出的方法

• 利用分布理论与傅里叶分析，将Radon变换扩展至测度与分布，从而能够分析非可积或无限质量的测度。
• 应用外部Radon变换，在紧凸集K外部重构测度，利用齐次或锥支撑测度的单射性定理（定理B–D）。
• 通过分布导数与球坐标系，将定义在R^d \ {0}上的函数与测度构造为R^d上的齐次延拓。
• 将测度定义为测试函数空间上的连续线性泛函，从而通过分布理论处理符号测度与无限质量测度。
• 推导关键恒等式(6.2)，通过迭代分布导数实现齐次分布的延拓，确保其齐次性并保持在R^d \ {0}上与原函数的一致性。
• 利用Radon变换的单射性性质，证明测度与测度序列的Cramér-Wold型定理，尤其在测度支撑于不包含完整直线的凸锥中的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cramér-Wold定理能否推广至在原点附近具有无限质量的测度，特别是当原点属于支撑集时？
• RQ2 在何种条件下，测度可由其在所有不包含原点的闭半空间上的取值唯一确定？
• RQ3 基于半空间分布函数，此类测度序列弱收敛的必要与充分条件是什么？
• RQ4 对齐次性、衰减性或锥支撑的假设如何影响外部Radon变换的单射性？
• RQ5 扩展的Cramér-Wold定理中的假设是否最优？能否构造反例以证明其必要性？

主要发现

• 定理4与定理4′建立了支撑于不包含完整直线的闭凸锥中的测度的Cramér-Wold型唯一性与收敛性，为新贡献。
• 定理3b与定理3′在锥支撑假设下，对非负测度提供了唯一性，即使无齐次性假设，从而扩展了先前结果。
• 第5节中的反例表明，定理B–D的假设是最优的，包括构造了非整数阶的齐次分布。
• 对任意非整数γ < -d，定义在R^d \ {0}上的γ阶齐次分布f可唯一延拓至R^d，其构造基于迭代分布导数。
• 对于M_loc(R^d \ {0})中的测度μ，若||μ_ε||_M ≤ Cε^{-m}，则可延拓为R^d上的分布，从而实现对奇异或缓慢衰减测度的分析。
• Basrak, Davis, 和 Mikosch (2002)提出的关于概率测度缩放极限的猜想，经由推论2得到证实，而该推论源自定理4′。