[论文解读] Suppression of blow-up in Patlak-Keller-Segel via shear flows

Jacob Bedrossian, Siming He|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文证明，在环面上的Patlak-Keller-Segel模型中，大剪切流可抑制有限时间爆破。通过增强耗散并有效降低维度，剪切流使二维问题变为$L^1$-亚临界，三维问题变为$L^1$-临界，从而在剪切强度$A$足够大时，确保二维问题对所有初始数据全局存在，三维问题在质量$\leq 8\pi$时也全局存在。

ABSTRACT

In this paper we consider the parabolic-elliptic Patlak-Keller-Segel models in $\mathbb T^d$ with $d=2,3$ with the additional effect of advection by a large shear flow. Without the shear flow, the model is $L^1$ critical in two dimensions with critical mass $8π$; solutions with mass less than $8π$ are global and solutions with mass larger than $8 π$ with finite second moment, all blow up in finite time. In three dimensions, the model is $L^{3/2}$ critical and $L^1$ supercritical; there exists solutions with arbitrarily small mass which blow up in finite time arbitrarily fast. We show that the additional shear flow, if it is chosen sufficiently large, suppresses one dimension of the dynamics and hence can suppress blow-up. In two dimensions, the problem becomes effectively $L^1$ subcritical and so all solutions are global in time (if the shear flow is chosen large). In three dimensions, the problem is effectively $L^1$ critical, and solutions with mass less than $8π$ are global in time (and for all mass larger than $8π$, there exists solutions which blow up in finite time).

研究动机与目标

• 研究在$d=2,3$时，大剪切流是否能防止环面上Patlak-Keller-Segel模型的有限时间爆破。
• 分析剪切流如何通过抑制一个空间维度来改变模型的临界性。
• 在大剪切流下，对二维任意初始数据和三维质量$\leq 8\pi$，建立解的全局存在性。
• 量化剪切流带来的增强耗散在稳定化学趋化聚集中的作用。

提出的方法

• 在$\mathbb{T}^d$中建模Patlak-Keller-Segel系统，加入剪切流项$A u \partial_x n$，其中$u$为具有有限个非退化临界点的$C^3$函数。
• 将解分解为$x$方向零频分量与非零频分量，以分离剪切流对混合与耗散的影响。
• 使用Gagliardo-Nirenberg-Sobolev与Calderón-Zygmund不等式进行逐模估计，以控制$\nabla c$在$L^\infty$中的大小。
• 利用剪切流带来的增强耗散效应，抑制梯度增长，防止爆破。
• 分析有效临界性转变：在二维中，问题变为$L^1$-亚临界；在三维中，问题变为$L^1$-临界。
• 利用能量估计与自由能泛函$\mathcal{F}[n] = \int n \log n \, dx - \frac{1}{2} \int |\nabla c|^2 \, dx$，建立对$n$和$\nabla c$的先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维Patlak-Keller-Segel模型中，大剪切流是否能抑制任意初始数据的有限时间爆破？
• RQ2 剪切流的存在是否有效降低问题的维度，将$L^1$-临界动力学转化为$L^1$-亚临界动力学？
• RQ3 在三维中，剪切流是否恢复$L^1$-临界行为，使得质量$\leq 8\pi$的解保持全局有界？
• RQ4 剪切流如何增强耗散并防止化学趋化模型中奇点的形成？
• RQ5 确保全局存在的最小剪切强度$A_0$是多少？其与初始数据范数的关系如何？

主要发现

• 在$d=2$时，若剪切强度$A > A_0$，其中$A_0$依赖于初始数据的$H^1$与$L^\infty$范数，则任意$H^1 \cap L^\infty$初始数据均产生全局解。
• 在二维中，剪切流使问题在本质上变为$L^1$-亚临界，无论质量大小均能防止爆破。
• 在$d=3$时，若初始质量$\leq 8\pi$且$A > A_0$，其中$A_0$依赖于初始数据的$H^1$与$L^\infty$范数，则解全局有界。
• 在三维中，剪切流恢复了$L^1$-临界行为，因此质量超过$8\pi$的解仍可能爆破，但仅当$A$不够大时才会发生。
• 剪切流带来的增强耗散抑制了$n$梯度的增长，防止了浓度与奇点的形成。
• 分析表明，剪切流使$x$方向的动力学解耦，使系统在横向方向上表现得如同低维问题。