[论文解读] Sur l'autocorrélation multiplicative de la fonction "partie fractionnaire" et une fonction définie par J. R. Wilton

Michel Balazard, Bruno Martin|arXiv (Cornell University)|May 19, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文解决了乘法自相关函数 $ A(\lambda) = \int_0^\infty \{t\}\{\lambda t\} \frac{dt}{t^2} $ 的可微性问题，其中 $\{\cdot\}$ 表示小数部分。通过将 $ A(\lambda) $ 与 J. R. Wilton 于 1933 年引入的函数 $ \mathcal{W}(x) $ 联系起来——该函数满足涉及 Gauss 映射 $ \alpha(x) = \{1/x\} $ 的函数方程——作者证明：当且仅当正无理数 $ \lambda $ 满足级数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ 收敛时，$ A(\lambda) $ 可微，其中 $ q_k $ 是 $ \lambda $ 的连分数渐近分数的分母。

ABSTRACT

We describe the points of diff erentiability of the multiplicative autocorrelation function of the "fractional part" function. In connection with this question, we study series involving the fi rst Bernoulli function, the arithmetical function "number of divisors", and the Gauss map from the theory of continued fractions. A key role is played by a function defi ned in 1933 by J. R. Wilton, similar to the Brjuno function of dynamical systems theory. A unifying theme of our exposition is the use of functional equations involving the Gauss map, allowing us to reprove and re fine a theorem of Wilton, la Bretèche and Tenenbaum.

研究动机与目标

• 确定乘法自相关函数 $ A(\lambda) = \int_0^\infty \{t\}\{\lambda t\} \frac{dt}{t^2} $ 可微的点集。
• 建立 $ A(\lambda) $ 与 Wilton 函数 $ \mathcal{W}(x) $ 之间的深刻联系，后者通过连分数定义，并满足涉及 Gauss 映射的函数方程。
• 分析 $ \mathcal{W}(x) $ 的局部行为及其原函数 $ \Upsilon(x) = \int_0^x \mathcal{W}(t) dt $，表明 $ A $ 的可微性可归结为 $ \Upsilon $ 的可微性。
• 利用函数方程和连分数展开的均值分析方法，对 Wilton、la Bretèche 和 Tenenbaum 的定理进行改进与重证。
• 以 $ \lambda $ 的连分数分母 $ q_k $ 涉及的级数收敛性为条件，刻画 $ A(\lambda) $ 的可微点集。

提出的方法

• 通过 $ x \in (0,1) $ 的连分数展开定义 Wilton 函数 $ \mathcal{W}(x) $，其满足函数方程 $ \mathcal{W}(x) = \log(1/x) - x \mathcal{W}(\{1/x\}) $。
• 引入原函数 $ \Upsilon(x) = \int_0^x \mathcal{W}(t) dt $，并建立关键恒等式：对 $ 0 < \lambda < 1 $，有 $ A(\lambda) = \rho(\lambda) - \frac{\Upsilon(\lambda)}{2\lambda} $，其中 $ \rho $ 在无理数处连续且可微。
• 利用 $ \mathcal{W} $ 的函数方程，推导出在由连分数渐近分数定义的区间上 $ \mathcal{W} $ 和 $ \Upsilon $ 的递推关系。
• 通过均值估计和 Gauss 映射的遍历性质，分析 $ \Upsilon $ 在有理数及特殊无理数（如 Wilton-Cremer 数）附近的性质。
• 应用 Mellin 变换与余弦傅里叶变换技术，将 $ A(\lambda) $ 与除数函数 $ \tau(n) $ 等数论函数关联，并推导近似函数方程。
• 建立 $ \Upsilon $ 的连续模，并利用其刻画可微点集，关键在于级数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ 的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些正实数 $ \lambda $ 处，乘法自相关函数 $ A(\lambda) $ 是可微的？
• RQ2 $ A(\lambda) $ 的可微性如何与 $ \lambda $ 的连分数展开相关，特别是其渐近分数分母 $ q_k $ 的增长行为？
• RQ3 通过连分数定义并满足 $ \mathcal{W}(x) = \log(1/x) - x \mathcal{W}(\{1/x\}) $ 的 Wilton 函数 $ \mathcal{W}(x) $ 在刻画 $ A(\lambda) $ 的可微性中起什么作用？
• RQ4 原函数 $ \Upsilon(x) = \int_0^x \mathcal{W}(t) dt $ 在有理数与无理数附近的性质如何决定 $ A(\lambda) $ 的可微性？
• RQ5 $ \lambda $ 的连分数展开需满足何种精确条件，才能保证级数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ 收敛，且该收敛性如何与 $ A(\lambda) $ 的可微性相关？

主要发现

• 函数 $ A(\lambda) $ 在正实数 $ \lambda $ 处可微，当且仅当 $ \lambda $ 为无理数，且级数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ 收敛，其中 $ q_k $ 为 $ \lambda $ 的连分数渐近分数的分母。
• $ A(\lambda) $ 的可微性完全由 Wilton 函数 $ \mathcal{W}(x) $ 的原函数 $ \Upsilon(x) $ 的行为决定，后者满足与 Gauss 映射相关的函数方程。
• 函数 $ \Upsilon(x) $ 在 $ (0,1) $ 上连续，且其在无理数 $ x $ 处的可微性等价于级数 $ \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\log q_{k+1}}{q_k} $ 的收敛性。
• 在有理数附近，$ \Upsilon(x) $ 展现出受控振荡，其连续模受涉及 $ \log q_{k+1}/q_k $ 的级数收敛性所限制。
• 函数 $ A(\lambda) $ 在 $ \lambda = 0 $ 处右不连续，其渐近行为为 $ A(\lambda) \sim \frac{1}{2} \lambda \log(1/\lambda) $ 当 $ \lambda \to 0^+ $。
• 函数方程 $ \mathcal{W}(x) = \log(1/x) - x \mathcal{W}(\{1/x\}) $，即 Wilton 函数的定义式，在分析中起核心作用，使得可微性问题可归约为对连分数动力系统的分析。