[论文解读] Sur l'existence d'une prescription d'ordre naturelle projectivement invariante

Martin Bordemann|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 28

一句话总结

本文证明了在流形上密度丛之间的微分算子存在一种投影不变的、自然的排序规定。通过将无挠联络投影不变地提升至 $a$-密度丛的丛上，并利用等变的、散度为零的对称张量场，作者建立了唯一且自然的量子化映射，该映射在联络的投影变换下保持不变。

ABSTRACT

P.Lecomte has proposed to take into account the covariant derivatives used to build ordering prescriptions for the naturality of transformation properties and has conjectured that there exists an natural ordering prescription for differential operators of any orders between density bundles which in addition is invariant under projective changes of the covariant derivatives. We prove this conjecture by constructing a projectively invariant lift of a torsion-free connexion to a torsion-free connexion on (the positive part of) the total space of the bundle of all $a$-densities for nonzero $a$, by lifting the symbols in a projectively invariant way (they turn out to be in bijection to the space of all $ eal^+$-equivariant divergence-free symmetric tensor fields on the total space), and by using the standard ordering procedure (`all the covariant derivatives to the right') on the total space. For Ricci-flat manifolds we show that this ordering prescription coincides --with the appropiate replacements-- with an explicit formula in $ eal^m$ obtained by Duval, Lecomte and Ovsienko.

研究动机与目标

• 解决 P. Lecomte 关于在密度丛之间存在自然的、投影不变的排序规定之猜想。
• 在局部微分同胚下定义排序规定的自然变换性质，改进标准排序程序。
• 为 $a \neq 0$ 的 $a$-密度丛的总空间，构造一个无挠联络的投影不变提升。
• 在投影不变符号与 $\mathbb{R}^+$-等变、散度为零的对称张量场之间建立双射关系。
• 证明所得排序规定在里奇平坦情形下与 Duval、Lecomte 和 Ovsienko 的已知公式一致。

提出的方法

• 将流形 $M$ 上的无挠联络 $\nabla$ 提升至 $a \neq 0$ 的 $a$-密度丛总空间上的无挠联络。
• 在提升后的联络上使用标准的‘所有协变导数置于右侧’的排序程序，以根据符号定义微分算子。
• 将微分算子的符号表征为 $a$-密度丛总空间上的 $\mathbb{R}^+$-等变且散度为零的对称张量场。
• 通过证明该构造在原始联络的投影变换下保持不变，从而证明其生成自然的、投影不变的排序规定。
• 证明所得规定是唯一的，并且在里奇平坦情形下与 Duval、Lecomte 和 Ovsienko 的显式公式一致。
• 利用表示理论与自然丛理论，确立提升的唯一性以及符号空间的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种自然的排序规定，使得密度丛之间的微分算子在联络的投影变换下保持不变？
• RQ2 能否以投影不变的方式，将流形上的无挠联络提升至 $a$-密度丛上？
• RQ3 与投影不变微分算子对应的符号空间的精确几何结构是什么？
• RQ4 所提出的排序规定与文献中已知公式（特别是里奇平坦情形）之间有何关系？
• RQ5 在自然性与投影不变性约束下，所得排序规定是否唯一？

主要发现

• 本文证明了在密度丛之间存在唯一、自然且投影不变的微分算子排序规定。
• 该构造依赖于 $a \neq 0$ 的 $a$-密度丛总空间上无挠联络的投影不变提升。
• 微分算子的符号被证明与 $a$-密度丛总空间上的 $\mathbb{R}^+$-等变且散度为零的对称张量场之间存在双射关系。
• 在里奇平坦流形的情形下，所提出的排序规定与 Duval、Lecomte 和 Ovsienko 为 $\mathbb{R}^m$ 推导出的显式公式一致。
• 通过表示论分析确立了联络自然提升族的唯一性，表明仅有三个自由参数（$\mu, \nu, \rho$）。
• 该方法证实，当应用于提升后的联络时，标准的‘所有协变导数置于右侧’程序可产生投影不变的量子化映射。