[论文解读] Sur l'homologie des espaces de noeuds non-compacts

Victor Tourtchine|ArXiv.org|Oct 2, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文描述了通过霍赫希尔德同调计算非紧致纽结空间在 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 3$）中同调的巴斯蒂耶夫谱序列的第一项，其依据是根据 $d$ 的奇偶性分别采用泊松代数或格伦斯坦哈伯代数。本文将弦图双代数识别为此同调的一个子空间，并通过在判别式解析的滤子上引入辅助滤子，简化了谱序列第一项的计算，建立了纽结不变量与同调代数中代数结构之间的联系。

ABSTRACT

The spectral sequence constructed by V.A.Vassiliev computes the homology of the spaces of non-compact knots in ${\bf R}^d$, $d\ge 3$. In this work the first term of this spectral sequence is described in terms of the homology of the Hochschild complex for the Poisson algebras operad, if d is odd (resp. for the Gerstenhaber algebras operads, if d is even). In particular the bialgebra of chord diagrams arises as some subspace of this homology (in this case d=3). Also a simplification for the calculation of the Vassiliev spectral sequence in the first term is provided.

研究动机与目标

• 描述在 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 3$）中计算非紧致纽结空间同调的巴斯蒂耶夫谱序列第一项。
• 将此第一项与 $d$ 为奇数时泊松代数的霍赫希尔德同调、$d$ 为偶数时格伦斯坦哈伯代数的霍赫希尔德同调相联系。
• 表明弦图双代数自然地作为此同调的一个子空间出现。
• 通过在判别式的解析中引入辅助滤子，简化第一项的计算。
• 建立纽结不变量与如操作族和双分次代数等代数结构之间的联系。

提出的方法

• 使用巴斯蒂耶夫的判别式 $\sigma$ 的解析作为非紧致纽结空间中奇点集 $\Sigma$ 的单纯解析。
• 应用与 $\sigma$ 上自然滤子 $\sigma_0 \subset \sigma_1 \subset \cdots$ 相关的谱序列，计算博雷尔-莫厄尔同调。
• 在每个项 $\sigma_i \setminus \sigma_{i-1}$ 上引入辅助滤子，从而产生一个第二谱序列，其第一项集中在单一行中。
• 计算 $m$ 个顶点的连通图复形的同调，其同构于 $\mathbb{Z}^{(m-1)!}$，作为关键组成部分。
• 将此同调的对偶空间识别为 $m$ 个生成元中每个恰好出现一次的李词子空间，其对应于映射 $M \to \mathbb{R}^d$ 的空间的上同调。
• 利用操作族结构——特别是泊松、格伦斯坦哈伯和巴塔林-维利科维斯基代数的操作族——将所得同调解释为霍赫希尔德复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用已知的同调不变量代数地描述非紧致纽结空间的巴斯蒂耶夫谱序列第一项？
• RQ2 弦图双代数在非紧致纽结空间同调中起什么作用？
• RQ3 环境维数 $d$ 的奇偶性如何影响纽结空间同调背后的代数结构？
• RQ4 能否通过在判别式解析上引入辅助滤子来简化谱序列第一项的计算？
• RQ5 泊松/格伦斯坦哈伯代数的霍赫希尔德同调与非紧致纽结空间的上同调之间的确切关系是什么？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^d$ 中，非紧致纽结的巴斯蒂耶夫谱序列第一项，当 $d$ 为奇数时同构于泊松代数操作族的霍赫希尔德同调，当 $d$ 为偶数时同构于格伦斯坦哈伯代数操作族的霍赫希尔德同调。
• 弦图双代数作为此同调中的自然子空间出现，源于连通图复形的结构。
• $m$ 个顶点的连通图复形的同调同构于 $\mathbb{Z}^{(m-1)!}$，且集中于单一度数。
• 此同调的对偶空间同构于 $m$ 个生成元中每个恰好出现一次的李词子空间，其秩也为 $(m-1)!$。
• 巴塔林-维利科维斯基操作族的霍赫希尔德复形自然同构于偶数 $d$ 时的广义 $B_*$-图复形，将拓扑操作族与纽结不变量联系起来。
• 在 $\sigma_i \setminus \sigma_{i-1}$ 上的辅助谱序列在第二项退化，其第一项集中在单一行中，从而简化了主谱序列第一项的计算。