[论文解读] Sur la cohomologie des systèmes locaux sur les espaces des modules des courbes de genre 2 et des surfaces abéliennes

Carel Faber, Gerard van der Geer|ArXiv.org|May 6, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用 29

一句话总结

本文计算了在亏格2曲线与阿贝尔曲面模空间上的局部系统之动机欧拉示性数，为Eisenstein上同调提供了显式公式，并对内形上同调贡献提出了一个猜想公式。通过有限域上的点计数，推导出有关Siegel模形式的详细信息，特别是对低权情形的上同调不变量建立了显式公式，并通过算术几何与模表示理论加以验证。

ABSTRACT

We consider the cohomology of local systems on the moduli space of curves of genus 2 and the moduli space of abelian surfaces. We give an explicit formula for the Eisenstein cohomology and a conjectural formula for the endoscopic contribution. We show how counting curves over finite fields provides us with detailed information about Siegel modular forms.

研究动机与目标

• 计算亏格2曲线与主极化阿贝尔曲面模空间上局部系统的动机欧拉示性数。
• 利用算术几何与自守形式技术，推导出这些空间上Eisenstein上同调的显式公式。
• 利用有限域上的点计数与模形式理论，对$\mathcal{A}_2$上$V_{l,m}$系数的上同调的内形贡献提出猜想。
• 将有限域上曲线的算术计数与2度Siegel模形式的结构联系起来。
• 为模空间上局部系统的紧支撑上同调提供显式公式，并在低权情形下加以验证。

提出的方法

• 作者使用动机欧拉示性数 $ e_c({\frak A}_2, {V}_{l,m}) = \sum (-1)^i [H^i_c({\frak A}_2, {V}_{l,m})] $，位于混合霍赫施特拉姆结构或楚瓦动机的格罗滕迪克群中。
• 他们应用分解 $ H^*_c = H^*_! + \text{Eis} $，将Eisenstein上同调作为内面上同调映射的余核分离出来。
• 他们采用哈德勒、平克与施韦默关于算术群的Eisenstein上同调与Siegel模形式的研究技术。
• 他们通过有限域$\mathbb{F}_q$上亏格2曲线的点计数计算$ e_c({\cal M}_{2,n}) $，将其与上同调不变量联系起来。
• 他们利用已知的Siegel模形式结果——特别是伊谷萨的生成元与츠키마的维数公式——来解释上同调数据。
• 他们验证了$ e_c({\cal M}_{2,10}) $与$ e_c({\cal M}_{2,16}) $的公式，将它们表示为塔特动机$ L $、模形式$ S[k] $与$ S[6,8] $的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部系统在亏格2曲线与阿贝尔曲面模空间上的Eisenstein上同调的显式结构是什么？
• RQ2 有限域上亏格2曲线的点计数如何反映$\mathcal{M}_2$上局部系统的动机上同调？
• RQ3 $\mathcal{A}_2$上$V_{l,m}$系数的上同调的内形贡献的猜想形式是什么？
• RQ4 2度Siegel模形式如何用于解释与验证模空间上同调不变量？
• RQ5 对于小的$ n $，$\mathcal{M}_{2,n}$的精确动机欧拉示性数是什么？它如何分解为已知动机的组合？

主要发现

• Eisenstein上同调具有精确公式：$ e_{\rm Eis}({\cal A}_2, {V}_{l,m}) = s_{l-m+2} - s_{l+m+4}L^{m+1} + \begin{cases} S[m+2]+1 & l \text{ even}, \\ -S[l+3] & l \text{ odd} \end{cases} $，其中$ s_n $表示$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) $上权$ n $的抛物模形式的维数。
• 当$ l = m > 0 $时，该公式成立，但可能在$ m $为偶数时由于意外的$ L $-函数抵消而例外。
• 动机欧拉示性数$ e_c({\cal M}_{2,10}) $被显式计算为$ L $与$ S[12] $的多项式，系数最高达13次。
• $ e_c({\cal M}_{2,16}) $的公式涉及$ A(L) $、$ B(L) $、$ C(L) $、$ D(L) $与$ e_c({\cal M}_2, {V}_{11,5}) $，其中后者表示为$ -S[6,8] - (L+1)S[12] - (L^5 + \cdots + 2) $。
• 本文确认$ S_{6,8} $为1维，并通过一个16维格构造出显式的非零形式$ F \in S_{6,8} $。
• 该方法成功计算了$ n \leq 16 $时的$ e_c({\cal M}_{2,n}) $，其中内形部分已知，且完整的特征类已确定。