[论文解读] Sur la densité des représentations cristallines du groupe de Galois absolu de Q_p

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文在许多参数化半单伽罗瓦表示 $ \mathrm{Gal}( \overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p) \to \mathrm{GL}_d(\overline{\mathbb{Q}}_p)$ 的 $p$-进解析空间的不可约分支中，建立了结晶表示的泽里斯基稠密性，将 Colmez 和 Kisin 的 $d=2$ 结果推广至一般情形。通过在 Robba 环上构造一个框架化、正则的三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模的普遍族，并结合 Fontaine-Herr 上同调，本文构建了 Gouv":[...]

ABSTRACT

Let X_d be the p-adic analytic space classifying the d-dimensional (semisimple) p-adic Galois representations of the absolute Galois group of Q_p. We show that the crystalline representations are Zarski-dense in many irreducible components of X_d, including the components made of residually irreducible representations. This extends to any dimension d previous results of Colmez and Kisin for d = 2. For this we construct an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context, based on a study of analytic families of trianguline (phi,Gamma)-modules over the Robba ring. We show in particular the existence of a universal family of (framed, regular) trianguline (phi,Gamma)-modules, as well as the density of the crystalline (phi,Gamma)-modules in this family. These results may be viewed as a local analogue of the theory of p-adic families of finite slope automorphic forms, they are new already in dimension 2. The technical heart of the paper is a collection of results about the Fontaine-Herr cohomology of families of trianguline (phi,Gamma)-modules.

研究动机与目标

• 将结晶表示的稠密性结果从维度 $d=2$ 推广至任意 $d$。
• 构建一个类似于 Coleman 的模形式 $p$-进族理论的三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模的局部 $p$-进族理论。
• 建立在 Robba 环上框架化、正则三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模的普遍族的存在性。
• 证明结晶 $(\varphi,\Gamma)$-模在此普遍族中是泽里斯基稠密的。
• 在 $p$-进伽罗瓦表示的语境下，提供特征值曲线理论的局部类比。

提出的方法

• 利用变形理论，在 Robba 环上构造框架化、正则三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模的普遍族。
• 应用 Fontaine-Herr 上同调研究三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模族及其结晶特化。
• 使用 Gouv":[...],
• research_questions
• key_findings

实验结果

研究问题

• RQ1 结晶表示的集合是否在参数化半单伽罗瓦表示的 $p$-进解析空间 $\mathfrak{X}_d$ 的不可约分支中构成泽里斯基稠密集？
• RQ2 对于任意 $d$，是否能在 Robba 环上构造框架化、正则三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模的普遍族？
• RQ3 结晶 $(\varphi,\Gamma)$-模是否在此普遍族中泽里斯基稠密？
• RQ4 在此局部语境下，无限蕨形构造是否产生一个结构，使得结晶点稠密且具有聚点性？
• RQ5 能否利用三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模将 $p$-进伽罗瓦表示的 $p$-进族理论推广至维度 $d > 2$？

主要发现

• 在 Robba 环上框架化、正则三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模的普遍族中，结晶表示是泽里斯基稠密的。
• 对任意 $d$，存在 $\mathbb{Q}_p$ 的一个有限扩张 $L$，使得 $X(L)$ 中的结晶点在 $X$ 中泽里斯基稠密且具有聚点性，其中 $X$ 是与一个残分数不可约伽罗瓦表示的普遍变形环相关的紧致解析空间。
• 在此语境下，无限蕨形构造被实现为一个光滑的、4维的 $p$-进解析空间 $S$，映射到 $X$，且其像 $\pi(S)$ 包含所有结晶点。
• 在 $X$ 中每个非例外结晶点恰有两个原像在 $S$ 中，且这些点在 $S$ 中泽里斯基稠密且具有聚点性，从而确保在每个此类点的纤维中也保持稠密性。
• $\pi: S \to X$ 是局部解析浸入，且通过一个非例外结晶点的两条结晶点族不会混淆，这反映了 Coleman 的模形式 $p$-进族中两个家族的局部类比。
• 三角化 $(\varphi,\Gamma)$-模族的 Fontaine-Herr 上同调为证明结晶特化的稠密性提供了技术基础，将 $d=2$ 时的结果推广至任意 $d$。