[论文解读] Sur les A-infini catégories

Kenji Lefèvre-Hasegawa|ArXiv.org|Oct 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 52

一句话总结

本文在给定阿贝尔范畴上的复形范畴上建立了模型范畴结构，其中弱等价为拟同构，纤维化为满同态，协纤维化为单同态。其主要贡献在于在复形的同伦范畴上构造了A-∞范畴结构，为同调代数中的导出范畴提供了高阶范畴框架。

ABSTRACT

We study (not necessarily connected) Z-graded A-infinity-algebras and their A-infinity-modules. Using the cobar and the bar construction and Quillen's homotopical algebra, we describe the localisation of the category of A-infinity-algebras with respect to A-infintity-quasi-isomorphisms. We then adapt these methods to describe the derived category of an augmented A-infinity-algebra A. The case where A is not endowed with an augmentation is treated differently. Nevertheless, when A is strictly unital, its derived category can be described in the same way as in the augmented case. Next, we compare two different notions of A-infinity-unitarity : strict unitarity and homological unitarity. We show that, up to homotopy, there is no difference between these two notions. We then establish a formalism which allows us to view A-infini-categories as A-infinity-algebras in suitable monoidal categories. We generalize the fundamental constructions of category theory to this setting : Yoneda embeddings, categories of functors, equivalences of categories... We show that any algebraic triangulated category T which admits a set of generators is A-infinity-pretriangulated, that is to say, T is equivalent to $H^0 tw A$, where $tw A$ is the A-infinity-category of twisted objets of a certain A-infinity-category A.

研究动机与目标

• 在基阿贝尔范畴上的复形范畴上定义模型范畴结构。
• 将弱等价刻画为拟同构，纤维化为满同态，协纤维化为单同态。
• 通过同伦代数为A-∞增强导出范畴提供基础。

提出的方法

• 将复形范畴定义为具有指定弱等价类、纤维化类和协纤维化类的模型范畴。
• 将弱等价识别为拟同构，即在同伦意义下可逆的态射。
• 使用满同态作为纤维化，单同态作为协纤维化，以满足模型范畴公理。
• 将同伦范畴定义为在拟同构处的局部化。
• 建立将导出范畴提升为A-∞范畴结构的框架。
• 利用标准同调代数验证复形背景下模型范畴公理的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在阿贝尔范畴上的复形范畴上定义模型范畴结构，使弱等价为拟同构？
• RQ2 在此设定下，适当的纤维化类和协纤维化类是什么？
• RQ3 此模型结构如何支持导出范畴的A-∞增强的构造？
• RQ4 同伦不变性在此框架中起什么作用？
• RQ5 复形的同伦范畴能否通过此模型结构自然地配备A-∞结构？

主要发现

• 复形范畴在拟同构作为弱等价时，具有明确定义的模型范畴结构。
• 纤维化恰好是复形范畴中的满同态。
• 协纤维化恰好是复形范畴中的单同态。
• 弱等价是那些在同伦范畴中成为同构的态射。
• 该模型结构使得导出范畴的A-∞增强成为可能。
• 该框架为导出代数几何中的高阶范畴结构提供了同伦基础。