[论文解读] Sur les transformations de contact au-dessus des surfaces

Emmanuel Giroux|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2001

Geometric and Algebraic Topology被引用 13

一句话总结

本文证明，对于除球面或环面以外的紧致、连通、定向曲面 S，其微分同胚群到其定向接触元素丛 V 的接触变换群的自然包含映射，在路径连通分支上诱导同伦等价。关键结果是这些包含映射是同伦的 0-等价，即在连通分支上诱导双射，对这类曲面上接触同胚群的拓扑具有重要意义。

ABSTRACT

Let S be a compact surface - or the interior of a compact surface - and let V be the manifold of cooriented contact elements of S equiped with its canonical contact structure. A diffeomorphism of V that preserves the contact structure and its coorientation is called a contact transformation over S. We prove the following results. 1) If S is neither a sphere nor a torus then the inclusion of the diffeomorphism group of S into the contact transformation group is 0-connected. 2) If S is a sphere then the contact transformation group is connected. 3) if S is a torus then the homomorphism from the contact transformation group of S to the automorphism group of $H_1(V) \simeq Z^3$ has connected fibers and the image is (known to be) the stabilizer of $Z^2 imes \{0\}$).

研究动机与目标

• 确定曲面上定向接触元素丛上接触同胚群的同伦类型。
• 研究曲面微分同胚与其提升至接触元素丛上接触同胚之间的关系。
• 建立除球面或环面外，曲面微分同胚群到接触同胚群的自然包含映射在路径连通分支上为同伦等价。
• 分析在 2-球面与环面情况下接触同胚群的结构，此时其拓扑特性显著不同。
• 通过接触同胚在同调与同伦类上的作用，对接触同胚进行拓扑分类，特别关注标准接触结构下的 3-环面情况。

提出的方法

• 将接触元素丛 $V \to S$ 构造为曲面 $S$ 上的共定向接触元素丛，配备典范接触结构 $\xi_S$。
• 将接触同胚定义为保持 $\xi_S$ 及其共定向的 $V$ 上的微分同胚，构成群 $\mathcal{D}(V;\xi_S)$。
• 利用曲面微分同胚的自然提升，定义从 $\mathcal{D}(S)$、$\mathcal{D}(S,\partial S)$ 和 $\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,S)$ 到相应接触同胚群的包含映射。
• 应用拓扑技术，包括同伦扩张定理与接触 3-流形中的凸曲面理论，证明接触同胚同伦于曲面微分同胚的提升。
• 运用 Cerf 定理（$S^3$ 的微分同胚群是平凡的）以及对加厚环面的紧致接触结构的分类结果，分析同伦类。
• 通过分析同调作用，确定 3-环面情况下接触同胚群在 $\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$ 中的像，证明其同构于特定子群 $\Pi$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不与 $S^2$ 或 $\mathbb{T}^2$ 同胚的紧致、连通、定向曲面 $S$，将 $\mathcal{D}(S)$、$\mathcal{D}(S,\partial S)$ 和 $\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,S)$ 自然包含入 $\mathcal{D}(V;\xi_S)$、$\mathcal{D}(V,\partial V;\xi_S)$ 与 $\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,V;\xi_S)$ 的映射，在路径连通分支上是否为同伦等价？
• RQ2 配备标准接触结构的 3-环面的接触同胚群具有怎样的结构？
• RQ3 曲面接触元素丛上的接触同胚与底曲面微分同胚之间有何关系？
• RQ4 映射 $\pi_0\mathcal{D}(V;\xi_S) \to \pi_0\mathcal{D}(V)$ 的像是什么？它与底曲面的拓扑有何关联？
• RQ5 共定向在接触同胚的分类中起什么作用？纤维上的对径映射如何影响群结构？

主要发现

• 对于不为球面或环面的紧致、连通、定向曲面 $S$，自然包含映射 $\mathcal{D}(S,\partial S) \to \mathcal{D}(V,\partial V;\xi_S)$、$\mathcal{D}(S) \to \mathcal{D}(V;\xi_S)$ 与 $\mathcal{D}(\mathrm{Int}\,S) \to \mathcal{D}(\mathrm{Int}\,V;\xi_S)$ 是同伦的 0-等价，诱导路径连通分支上的双射。
• 在 2-球面上，接触同胚群是路径连通的，即每个接触同胚都通过接触同胚同伦于恒等映射。
• 对于环面，接触同胚群 $\mathcal{D}(\mathbf{T}^3,\xi)$ 通过其在同调上的作用单射地映射到 $\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$，其像等于保持 $\mathbb{Z}^2 \times \{0\}$ 的子群 $\Pi$。
• 包含映射 $\mathcal{D}(V,\partial V;\xi_S) \to \mathcal{D}(V,\partial V)$ 在路径连通分支上诱导单射，其他包含映射亦然。
• 保持但不共定向 $\xi_S$ 的接触同胚构成一个与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \pi_0\mathcal{D}(V;\xi_S)$ 同构的群，其中 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 分量对应于纤维上的对径映射。
• 证明依赖于同伦扩张与凸曲面理论，特别是加厚环面上紧致接触结构的分类，以证明任一接触同胚同伦于曲面微分同胚的提升。