[论文解读] Sur quelques repr\\'esentations potentiellement cristallines de GL_2(Q_p)

Laurent Berger, Breuil, C.|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 26

一句话总结

该论文为GL₂(ℚₚ)构造了一个p进Banach空间表示B(V)，其关联于在ℚₚ的阿贝尔扩张上变为晶体的、绝对不可约的、φ-半单的二维p进伽罗瓦表示V。通过(φ,Γ)-模和Wach模理论，证明了B(V)非零、拓扑不可约且可承认，为GL₂(ℚₚ)的p进Langlands对应关系奠定了关键一步。

ABSTRACT

To each 2-dimensional irreducible p-adic representation of Gal(Qpbar/Qp) which becomes crystalline over an abelian extension of Q_p, we associate a Banach space B(V) endowed with a linear continuous unitary action of GL_2(Q_p). When V is moreover phi-semi-simple, we use the (phi,Gamma)-module and the Wach module associated to V to show that the representation B(V) is nonzero, topologically irreducible and admissible.

研究动机与目标

• 为GL₂(ℚₚ)构造一个p进Banach空间表示B(V)，其关联于ℚ̄ₚ上二维的、潜在晶体的、绝对不可约的、φ-半单的伽罗瓦表示V。
• 在φ-半单性条件下，证明B(V)非零、拓扑不可约且可承认。
• 将Wach模理论推广至潜在晶体情形，并利用它建立B(V)*与D(V)的投影极限之间的Borel-等变同构。
• 将B(V)具体实现为ℚₚ上满足特定增长条件的连续函数空间。
• 通过验证关键猜想（非零性、不可约性、可承认性）支持p进Langlands程序，适用于自然的一类表示。

提出的方法

• 通过GL₂(ℚₚ)不变的稳定格，将B(V)定义为局部代数表示Alg(V)与光滑不可约表示Lisse(V)的张量积的p进完备化。
• 利用与V相关的(φ,Γ)-模理论分析B(V)及其对偶的结构。
• 将Wach模理论推广至潜在晶体情形，以描述过滤φ-模D_cris(V)。
• 通过C^r函数与r阶分布，构造B(V)作为ℚₚ上某类连续函数空间的中间描述。
• 利用(φ,Γ)-模结构，建立B(V)*与D(V)中ψ-相容有界序列的投影极限之间的Borel-等变同构。
• 通过分析对偶表示的结构并借助与投影极限的同构，证明拓扑不可约性与可承认性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于ℚ̄ₚ上二维的、潜在晶体的、绝对不可约的、φ-半单的伽罗瓦表示V，其关联的p进Banach表示B(V)是否保持非零？
• RQ2 B(V)作为GL₂(ℚₚ)-表示是否为拓扑不可约的？
• RQ3 B(V)是否在Schneider和Teitelbaum意义下可承认，即其光滑向量子空间是否为局部有限维的？
• RQ4 B(V)的对偶能否用V的(φ,Γ)-模与Wach模明确描述？
• RQ5 通过代数部分与光滑部分张量积构造B(V)是否在Banach空间设定下产生一个良定义的、GL₂(ℚₚ)-不变的表示？

主要发现

• 当V为ℚₚ的阿贝尔扩张上变为晶体的、二维的、绝对不可约的p进伽罗瓦表示且φ-半单时，表示B(V)非零。
• B(V)作为GL₂(ℚₚ)-表示是拓扑不可约的，即其无非平凡的闭不变子空间。
• B(V)是可承认的，即其光滑向量子空间为局部有限维的，符合p进表示理论中可承认表示的定义。
• 对偶表示B(V)*同构于(φ,Γ)-模D(V)中ψ-相容有界序列的投影极限，从而建立了Borel-等变同构。
• 将B(V)构造为ℚₚ上连续函数空间提供了显式实现，便于应用p进泛函分析。
• 证明依赖于将Wach模理论推广至潜在晶体情形，从而得以分析V的过滤φ-模结构。