[论文解读] Surface codes, quantum circuits, and entanglement phases

Jan Behrends, Florian Venn+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文建立了二维表面码的纠错相与一维自由费米子量子线路中纠缠相之间的对偶性。通过将表面码在比特翻转或相干X-旋转误差下的行为映射为二维随机键伊辛模型，再利用转移矩阵和散射网络将其转化为一维量子线路，作者表明：纠错相对应于长时间演化态中的拓扑非平庸面积律，而超过阈值时，非相干误差导致平凡面积律，相干误差则导致对数纠缠标度。

ABSTRACT

Surface codes$\unicode{x2014}$leading candidates for quantum error correction (QEC)$\unicode{x2014}$and entanglement phases$\unicode{x2014}$a key notion for many-body quantum dynamics$\unicode{x2014}$have heretofore been unrelated. Here, we establish a link between the two. We map two-dimensional (2D) surface codes under a class of incoherent or coherent errors (bit flips or uniaxial rotations) to $(1+1)$D free-fermion quantum circuits via Ising models. We show that the error-correcting phase implies a topologically nontrivial area law for the circuit's 1D long-time state $|Ψ_\infty angle$. Above the error threshold, we find a topologically trivial area law for incoherent errors and logarithmic entanglement in the coherent case. In establishing our results, we formulate 1D parent Hamiltonians for $|Ψ_\infty angle$ via linking Ising models and 2D scattering networks, the latter displaying respective insulating and metallic phases and setting the 1D fermion gap and topology via their localization length and topological invariant. We expect our results to generalize to a duality between the error-correcting phase of ($d+1$)D topological codes and $d$-dimensional area laws; this can facilitate assessing code performance under various errors. The approach of combining Ising models, scattering networks, and parent Hamiltonians can be generalized to other fermionic circuits and may be of independent interest.

研究动机与目标

• 建立表面码中量子误差校正（QEC）相与量子线路中纠缠相之间的理论联系。
• 利用伊辛模型对偶性，将受非相干（比特翻转）和相干（旋转）误差影响的二维表面码映射为一维自由费米子量子线路。
• 以面积律和拓扑不变量来表征长时间演化态 |Ψ∞⟩ 的纠缠结构。
• 表明QEC相对应于一维拓扑非平庸相，而非QEC相则根据误差类型表现出不同的纠缠标度。
• 将该对偶性推广至高维拓扑码及其关联的面积律。

提出的方法

• 通过已知对偶性，将受X误差影响的二维表面码映射为二维随机键伊辛模型（RBIMs）。
• 将RBIM的转移矩阵视为1+1维量子线路哈密顿量，从而在长时间极限下实现动力学演化。
• 对于相干误差，通过二维伊辛模型与具有复耦合的二维散射网络之间的进一步对偶性扩展该映射。
• 利用散射网络的局域化长度和拓扑不变量，构建长时间态 |Ψ∞⟩ 的一维母哈密顿量。
• 利用拓扑不变量（如Z2指数）和纠缠谱中的零模式，诊断一维态中的拓扑序。
• 分析纠缠熵的标度行为：QEC相中为面积律，相干情况下超过阈值时呈现对数标度。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维表面码的纠错相能否映射为一维量子线路中的拓扑纠缠相？
• RQ2 长时间态 |Ψ∞⟩ 的纠缠熵在非相干与相干误差下如何标度？
• RQ3 伊辛模型与散射网络对偶性在连接表面码动力学与一维费米系统中起到何种作用？
• RQ4 一维系统的拓扑不变量是否与QEC阈值及散射网络的局域化特性相关？
• RQ5 该对偶性是否可推广至高维拓扑码及其关联的面积律？

主要发现

• 表面码的QEC相映射为一维非平庸拓扑相，其纠缠谱中存在非零的零模式。
• 对于非相干比特翻转误差，长时间态 |Ψ∞⟩ 在QEC阈值以上表现出拓扑平凡的面积律。
• 对于相干X-旋转误差，纠缠熵在系统尺寸增大时呈现对数标度，表明其处于临界相。
• |Ψ∞⟩ 的一维母哈密顿量通过散射网络构造，其绝缘或金属性质分别对应于一维态的拓扑或平凡特性。
• 一维系统的拓扑不变量与二维散射网络的局域化长度和Z2不变量相关联，证实了QEC相的拓扑鲁棒性。
• 该对偶性提出了一般性框架，将(d+1)维拓扑码与d维面积律联系起来，从而可在多种误差模型下评估其性能。