[论文解读] Surface group representations in PU(p,q) and Higgs bundles

Steven B. Bradlow, Oscar Garcı́a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 11

一句话总结

本文利用 Higgs 场的 $L^2$-范数作为 Morse-Bott 函数，研究了曲面基本群的 $\mathrm{PU}(p,q)$-表示模空间的拓扑结构。它将局部极小值识别为全纯三元组的模空间，证明了对于满足互素条件的每个拓扑不变量，对应的连通分支非空且连通，并通过基本区域内的格点完整计数了连通分支数。

ABSTRACT

Using the L^2 norm of the Higgs field as a Morse function, we study the moduli spaces of U(p,q)-Higgs bundles over a Riemann surface. We require that the genus of the surface be at least two, but place no constraints on (p,q). A key step is the identification of the function's local minima as moduli spaces of holomorphic triples. In a companion paper "Moduli spaces of holomorphic triples over compact Riemann surfaces" (math.AG/0211428) we prove that these moduli spaces of triples are non-empty and irreducible. Because of the relation between flat bundles and fundamental group representations, we can interpret our conclusions as results about the number of connected components in the moduli space of semisimple PU(p,q)-representations. The topological invariants of the flat bundles are used to label subspaces. These invariants are bounded by a Milnor-Wood type inequality. For each allowed value of the invariants satisfying a certain coprimality condition, we prove that the corresponding subspace is non-empty and connected. If the coprimality condition does not hold, our results apply to the closure of the moduli space of irreducible representations. This paper, and its companion mentioned above, form a substantially revised version of math.AG/0206012.

研究动机与目标

• 理解曲面基本群的半单 $\mathrm{PU}(p,q)$-表示模空间的拓扑结构。
• 将 $L^2$-范数作为 $\mathrm{U}(p,q)$-Higgs 簷上的适当 Morse-Bott 函数，用于研究模空间的连通分支。
• 将该 Morse 函数的局部极小值识别为全纯三元组的模空间，建立 Higgs 簷稳定性与表示理论之间的联系。
• 在互素约束下，利用度数和托莱多不变量等拓扑不变量对表示丛的连通分支进行分类。
• 证明每个由允许不变量标记的分支均非空且连通，且通过有界区域内的整数格点实现完整计数。

提出的方法

• 在 $\mathrm{U}(p,q)$-Higgs 簷的模空间上，使用 Higgs 场的 $L^2$-范数作为适当的 Morse-Bott 函数。
• 利用稳定性条件与规范理论构造，将该函数的局部极小值与全纯三元组的模空间对应起来。
• 通过平展 $\mathrm{U}(p,q)$-丛与 $\mathrm{PU}(p,q)$-表示之间的对应关系，将结果转化为表示丛的结论。
• 在 $(a,b)$-平面上刻画拓扑不变量的基本区域 $\Omega$，其边界由 Milnor–Wood 不等式定义。
• 通过 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 内的格点计数对连通分支进行分类，其中直线 $l_t$ 参数化恒定的托莱多不变量 $t$。
• 分析互素条件 $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) = 1$，以确定何时分支对应于不可约表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 曲面基本群的半单 $\mathrm{PU}(p,q)$-表示模空间有多少个连通分支？
• RQ2 表示丛的连通分支由哪些拓扑不变量标记，其允许的取值是什么？
• RQ3 Higgs 场的 $L^2$-范数如何作为 Morse 函数来探测模空间的拓扑结构？
• RQ4 在何种条件下，不可约 $\mathrm{PU}(p,q)$-表示的模空间非空且连通？
• RQ5 托莱多不变量与全纯三元组模空间的结构之间有何关系？

主要发现

• 对于基本区域 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 内的每个整数点 $(a,b)$，均存在一个对应的 $\mathrm{PU}(p,q)$-表示模空间的连通分支。
• 连通分支的数量与 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 内的整数点集合之间存在双射关系，该集合受 Milnor–Wood 不等式限制。
• 当 $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) = 1$ 时，每个由 $(a,b) \in \Omega_{\mathbb{Z}}$ 标记的分支均非空且连通，其中 $k = \mathrm{GCD}(p,q)$。
• 当 $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) \neq 1$ 时，对应的分支对应于不可约表示模空间的闭包。
• 关联线丛的度数 $d = a + b$ 满足 $-n(g-1) \leq d < n$，且所有此类取值均可实现。
• 对于每个固定的托莱多不变量 $t$，在 $l_t \cap \Omega_{\mathbb{Z}}$ 中恰好有 $k = \mathrm{GCD}(p,q)$ 个整数点，且 $a+b$ 与 $n$ 的互素性在每条此类直线上保持一致。