[论文解读] Surface groups in uniform lattices of some semi-simple groups

Jeremy Kahn, François Labourie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过引入基于 $K$-Sullivan 映射的新型几何框架——这是高阶对称空间中 $K$-拟圆的推广——建立了中心平凡的复半单李群的均匀格中表面子群的存在性。证明了此类映射是 Hölder 连续的，且等变的 $\zeta$-Sullivan 映射蕴含 Anosov 表示，从而给出了表面子群定理的定量版本，其极限映射可任意接近光滑圆周。

ABSTRACT

We show that uniform lattices in some semi-simple groups (notably complex ones) admit Anosov surface subgroups. This result has a quantitative version: we introduce a notion, called $K$-Sullivan maps, which generalizes the notion of $K$-quasi-circles in hyperbolic geometry, and show in particular that Sullivan maps are Hölder. Using this notion, we show a quantitative version of our surface subgroup theorem and in particular that one can obtain $K$-Sullivan limit maps, as close as one wants to smooth round circles. All these results use the coarse geometry of "path of triangles" in a certain flag manifold and we prove an analogue to the Morse Lemma for quasi-geodesics in that context.

研究动机与目标

• 在经典 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 案例之外，建立复半单李群的均匀格中表面子群的存在性。
• 通过基于旗流形和 $\mathfrak{sl}_2$-三元组的新几何框架，将 Kahn–Markovic 定理推广至高阶李群。
• 通过引入 $\zeta$-Sullivan 映射并证明其正则性与动力学意义，提供表面子群定理的定量版本。
• 证明 $\zeta$-Sullivan 映射是 $\alpha$-Hölder 连续的，且在富克斯群作用下的等变性蕴含 Anosov 表示。
• 将理论扩展至非复李群，如 $\mathrm{PU}(p,q)$（$q>p>0$），从而扩大主要结果的适用范围。

提出的方法

• 将 $K$-Sullivan 映射定义为从 $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ 到旗流形 $\mathbf{F}$ 的映射，其中圆周上任意三点在度量 $d_\tau$ 下确定一个度量，使得映射在该度量下始终与圆周保持一致接近。
• 利用旗流形 $\mathbf{F}$ 中“三角形路径”的粗几何性质，分析 $\zeta$-Sullivan 映射的行为，并在此背景下建立类似 Morse 引理的 quasi-geodesic 结论。
• 证明任意 $\zeta$-Sullivan 映射对某个 $\alpha > 0$ 是 $\alpha$-Hölder 连续的，从而在不预先假设连续性的情况下确立其正则性。
• 证明若一个 cocompact 富克斯群 $\Gamma$ 的表示 $\rho$ 允许一个 $\rho$-等变的 $\zeta$-Sullivan 映射，则 $\rho$ 是 $\mathbf{F}$-Anosov，且该映射即为其极限曲线。
• 利用格作用的指数混合性（通过谱间隙结果）控制旗流形的几何结构，确保在均匀性和不可约性条件下此类映射的存在性。
• 通过归纳法与度量比较技术（如 $\ell_1$ 乘积度量和 Lévy–Prokhorov 距离）将结果从环面推广至一般紧致对称空间，并证明测度间距离的定量界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 之外的高阶半单李群的均匀格中构造出表面子群？
• RQ2 在高阶对称空间中，$K$-拟圆与 $K$-拟对称映射的适当推广是什么？
• RQ3 如何确保推广极限曲线的旗流形中等变映射的正则性（例如 Hölder 连续性）？
• RQ4 在何种条件下，$\zeta$-Sullivan 映射的存在性蕴含表示为 Anosov？
• RQ5 该构造能否实现量化，使得极限映射可任意接近光滑圆周？

主要发现

• 任意 $\zeta$-Sullivan 映射对某个 $\alpha > 0$ 是 $\alpha$-Hölder 连续的，从而在不预先假设连续性的情况下确立了正则性。
• 若一个 cocompact 富克斯群 $\Gamma$ 的表示 $\rho$ 允许一个 $\rho$-等变的 $\zeta$-Sullivan 映射，则 $\rho$ 是 $\mathbf{F}$-Anosov，且该映射即为其极限曲线。
• 对任意中心平凡的复半单李群 $\mathsf{G}$ 的均匀格 $\Gamma$，存在一个表面子群，从而推广了 Kahn–Markovic 定理。
• 通过选择 $K$ 接近 1 的 $K$-Sullivan 映射，可使表面子群的极限映射在旗流形中任意接近光滑的圆周。
• 该构造是定量的：对任意 $\kappa > 0$，存在一个 $\zeta$，使得 $\zeta$-Sullivan 映射满足 $d(\phi \cdot \mu, \overline{\phi} \cdot \mu) \leq \kappa \cdot \mathrm{diam}(\mathsf{T}^1)$，从而确保对测度畸变的控制。
• 利用谱间隙结果的格作用指数混合性，确保在均匀性与不可约性条件下此类映射的存在性。