[论文解读] Surface Simplification using Intrinsic Error Metrics

Hsueh‐Ti Derek Liu, Mark N. Gillespie+4 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2023

Computer Graphics and Visualization Techniques被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于表面网格简化的新度量——固有曲率误差（ICE）度量，该度量通过在贪心简化过程中追踪切向量所携带的曲率漂移，优先保证固有几何精度而非外部视觉保真度。该方法实现了鲁棒的、质量有保证的降采样，支持双射映射与延拓算子，从而在不改变用户输入输出的前提下，实现PDE求解器的‘黑箱’加速。

ABSTRACT

This paper describes a method for fast simplification of surface meshes. Whereas past methods focus on visual appearance, our goal is to solve equations on the surface. Hence, rather than approximate the extrinsic geometry, we construct a coarse intrinsic triangulation of the input domain. In the spirit of the quadric error metric (QEM), we perform greedy decimation while agglomerating global information about approximation error. In lieu of extrinsic quadrics, however, we store intrinsic tangent vectors that track how far curvature "drifts" during simplification. This process also yields a bijective map between the fine and coarse mesh, and prolongation operators for both scalar- and vector-valued data. Moreover, we obtain hard guarantees on element quality via intrinsic retriangulation - a feature unique to the intrinsic setting. The overall payoff is a "black box" approach to geometry processing, which decouples mesh resolution from the size of matrices used to solve equations. We show how our method benefits several fundamental tasks, including geometric multigrid, all-pairs geodesic distance, mean curvature flow, geodesic Voronoi diagrams, and the discrete exponential map.

研究动机与目标

• 开发一种网格简化方法，以在表面上求解PDE时保持固有几何精度，而非关注视觉外观。
• 将网格分辨率与几何处理流水线中的矩阵大小解耦，从而在不改变用户工作流的前提下实现更快的求解器。
• 通过固有重三角化提供元素质量的硬性保证，克服外在方法在低质量输入下的局限性。
• 支持在固有三角化上构建多重网格层次结构，并实现标量场与向量场的高效延拓算子。

提出的方法

• ICE度量采用贪心简化策略，通过追踪曲率分布及其在切向量上传播来最小化固有近似误差。
• 在每个顶点处，该方法维护一个累积的总曲率，并保持一个近似表示祖先曲率加权Karcher均值的切向量。
• 通过预展开与后展开的高斯曲率分布之间的近似1- Wasserstein距离计算顶点移除的局部代价。
• 该方法采用固有Delaunay重三角化，确保高质量网格单元，同时不损害几何保真度。
• 标量场与向量场的延拓算子基于精细网格与粗化网格之间的双射映射推导得出。
• 该方法通过仅关注测地线距离与固有曲率，避免使用外在度量，从而在低质量输入下仍能实现鲁棒的简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于固有几何的网格简化方法是否能在保持PDE求解精度方面优于外在方法？
• RQ2 如何通过固有度量定量追踪并最小化简化过程中的曲率漂移？
• RQ3 能否在保证元素质量、维持双射映射与延拓算子的前提下，对固有三角化进行降采样？
• RQ4 在低质量或复杂输入几何下，固有简化在多大程度上能支持鲁棒的多重网格方法？
• RQ5 近似对数映射与质量集中对简化过程的整体精度与鲁棒性有何影响？

主要发现

• ICE方法通过在降采样网格上实现高效的固有多重网格求解器，使外在曲率流的计算速度提升了20倍。
• 该方法在传统外在方法失败或需要全局重网格化的情况下，仍能成功构建有效的网格层次结构。
• 固有重三角化确保了元素质量的硬性保证，消除了外在方法中因低质量三角形带来的问题。
• 精细网格与粗化网格之间的双射映射使得标量场与向量场的延拓准确无重建伪影。
• 在低质量输入下，该方法优于以往的外在简化与重网格化技术，保持了几何保真度与求解器稳定性。
• 通过使用近似切向量与质量集中，实现了高效的局部计算，同时保持了全局近似精度。