[论文解读] Surface Topological Order and a new 't Hooft Anomaly of Interaction Enabled 3+1D Fermion SPTs

Lukasz Fidkowski, Ashvin Vishwanath+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

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一句话总结

本文在由单位对称性保护的3+1D费米子对称保护拓扑（SPT）相中发现了一种新的't Hooft异常，其表面表现出任意子置换为异常的拓扑序，该异常由$H^3(G, \mathbb{Z}_2)$分类。作者通过$\mathbb{Z}_4$ gauge理论构建了表面拓扑序，并证明任意子上的对称性作用——特别是非平凡的统计交换与耦合结构——无法在孤立表面中实现，必须依赖体相SPT来消除该异常。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are well understood in the context of free fermions and in the context of interacting but essentially bosonic models. Recently it has been realized that intrinsically fermionic SPTs exist which only appear in interacting models. Here we show that the 3+1 dimensional realizations of these phases have surface states characterized by a new 't Hooft anomaly, captured by a $H^3(G, Z_2)$ class. This is encoded in the anomalous action of symmetry on the surface states with topological order, which must necessarily permute the anyons. We discuss in detail an example with symmetry group $G = Z_2 imes Z_4$. Using a network model of the surface we derive a candidate surface topological order given by a $Z_4$ gauge theory. We relate our findings to anomalies valued in $H^3$ with various coefficients introduced previously in both bosonic and fermionic settings, and describe a general framework that unifies these various anomalies.

研究动机与目标

• 理解由单位对称性保护的3+1D费米子SPT的表面拓扑序（STO），特别是当不存在自由费米子或玻色子类比时的情况。
• 识别并表征一种新型的't Hooft异常，该异常在费米子SPT中与玻色系统中已知的$H^4(G,U(1))$异常不同。
• 建立一个框架，将表面任意子上的异常对称性作用与体相SPT联系起来，以$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$对称群作为具体实例。
• 通过展示$H^3(G,A)$对任意子置换的异常是费米子与玻色子系统中的普遍特征，统一费米子与玻色子异常。

提出的方法

• 构建一个实现为$\mathbb{Z}_4$ gauge理论的表面网络模型，作为候选表面拓扑序。
• 分析对称性在任意子上的作用，特别是$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$群对任意子的非平凡置换，导致对称性实现的异常。
• 利用$S$-矩阵和Verlinde公式推导任意子耦合代数的特征，并识别满足$\omega_a = M^*_{ab}$的阿贝尔任意子$b$，以确保与拓扑序的一致性。
• 通过证明对称性分数化在任意子上的异常无法在无体相的情况下于2+1D中实现，从而表明该异常由$H^3(G, \mathbb{Z}_2)$中的类捕获，其中$G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$。
• 通过一个广义框架将费米子异常与玻色子$H^4(G,U(1))$分类联系起来，该框架同时包含$H^3(G,A)$和$H^4(G,U(1))$异常。
• 证明体相中的单极子-反单极子隧道过程在表面诱导了非平凡的$\mathbb{Z}_2$电荷变化，通过任意子统计交换的物理实现确认了该异常。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有纯单位对称性的3+1D费米子SPT的表面拓扑序是什么类型？
• RQ2 表面任意子上的对称性作用为何是异常的？该异常由何种上同调类捕获？
• RQ3 $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$对任意子置换的异常是否能在2+1D表面理论中一致实现？其与体相SPT有何关系？
• RQ4 当$\sigma \in H^2(G, \mathbb{Z}_2)$和$\rho \in H^3(G, \mathbb{Z}_2)$时，费米子SPT与玻色子SPT在表面异常方面有何不同？
• RQ5 连接费米子系统中$H^3(G,A)$异常与玻色子系统中$H^4(G,U(1))$异常的统一框架是什么？

主要发现

• 具有$G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$对称性的3+1D费米子SPT的表面实现了$\mathbb{Z}_4$ gauge理论作为其拓扑序，任意子为$1, e, m, \mu$，并表现出非平凡的任意子统计交换。
• 对称性作用对任意子的置换是异常的，无法在孤立系统中实现，该异常由$H^3(G, \mathbb{Z}_2)$中的非平凡类分类。
• 该异常的根源在于$\mathbb{Z}_2$与$\mathbb{Z}$对称性生成元在任意子$m^2$上反对易，模拟了体相单极子隧道过程。
• 作者证明，满足$\omega_a \omega_b = \omega_c$（当$N^c_{ab} \neq 0$）且$\omega_f = 1$的任意子上的一组相位$\omega_a$可表示为$\omega_a = M^*_{ab}$，其中$b$为某个阿贝尔任意子，且该表示在与费米子任意子$f$耦合的意义下唯一。
• $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$对任意子置换的异常是费米子SPT中的普遍特征，并推广了玻色子SPT中已知的$H^4(G,U(1))$异常。
• 该框架通过表明$H^3(G,A)$对任意子分数化的异常是当$\sigma \neq 0$时非平凡费米子SPT存在的必要条件，统一了费米子与玻色子异常。