[论文解读] Surfaces have (asymptotic) dimension 2

Marthe Bonamy, Nicolás Bousquet+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文证明了排除 $K_{3,p}$ 作为子式的所有图的渐近维数至多为 2，这意味着所有可嵌入任意固定曲面（包括平面图）的图的渐近维数均为 2。该结果解决了 Fujiwara 与 Papasoglu 最近提出的一个问题，并可推广至黎曼曲面、有界路径宽图（渐近维数 ≤1）以及有界分层路径宽图（渐近维数 ≤2），并应用于子式封闭类与多项式增长图类。

ABSTRACT

The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. When restricted to graphs and their shortest paths metric, the asymptotic dimension can be seen as a large scale version of weak diameter colorings (also known as weak diameter network decompositions), i.e. colorings in which each monochromatic component has small weak diameter. In this paper, we prove that for any $p$, the class of graphs excluding $K_{3,p}$ as a minor has asymptotic dimension at most 2. This implies that the class of all graphs embeddable on any fixed surface (and in particular the class of planar graphs) has asymptotic dimension 2, which gives a positive answer to a recent question of Fujiwara and Papasoglu. Our result extends from graphs to Riemannian surfaces. We also prove that graphs of bounded pathwidth have asymptotic dimension at most 1 and graphs of bounded layered pathwidth have asymptotic dimension at most 2. We give some applications of our techniques to graph classes defined in a topological or geometrical way, and to graph classes of polynomial growth. Finally we prove that the class of bounded degree graphs from any fixed proper minor-closed class has asymptotic dimension at most 2. This can be seen as a large scale generalization of the result that bounded degree graphs from any fixed proper minor-closed class are 3-colorable with monochromatic components of bounded size. This also implies that (infinite) Cayley graphs avoiding some minor have asymptotic dimension at most 2, which solves a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal.

研究动机与目标

• 确定可嵌入固定曲面的图的渐近维数，解决 Fujiwara 与 Papasoglu 最近提出的开放问题。
• 建立排除 $K_{3,p}$ 作为子式的图类的渐近维数至多为 2，推广平面图与曲面嵌入图的结果。
• 将渐近维数界推广至有界路径宽图与有界分层路径宽图，并应用于有界度图的子式封闭类。
• 探讨渐近维数、弱直径着色与结构图类（如多项式增长或有界扩张类）之间的联系。
• 通过在这些设定下证明单色连通分量具有统一有界的弱直径，对子式封闭类的 3-着色结果进行大规模推广。

提出的方法

• 作者采用一种基于弱直径网络分解的精细化分解技术，将 $r$-不相交覆盖与 $D(r)$-有界集合的概念加以调整，以控制渐近维数。
• 他们应用 Brodskiy、Dydak、Le Donne 与 Mitra 关于度量空间统一度量化的定理的定量版本，以控制分解中连通分量的增长。
• 证明利用图子式结构定理，将 $H$-子式自由图分解为几乎可嵌入曲面的片段，然后界定这些片段的渐近维数。
• 对于有界路径宽图，该方法基于树分解的着色，使弱直径连通分量有界，从而得出渐近维数至多为 1。
• 对于分层路径宽图，该方法结合分层分解与迭代着色，确保单色连通分量具有统一有界的弱直径。
• 作者使用离散化论证，将有限图的结果推广至黎曼曲面，证明此类曲面的渐近维数同样为 2。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图类的渐近维数是否至多为 2，如 Fujiwara 与 Papasoglu 所猜想？
• RQ2 能否独立于 $t$ 有界 $K_{t}$-子式自由图的渐近维数，还是 $4^t$ 的界是紧的？
• RQ3 有界路径宽图的渐近维数是否至多为 1，有界分层路径宽图是否至多为 2？
• RQ4 $q$-肥 $K_t$-子式自由图的渐近维数是否与 $K_t$-子式自由图相同？
• RQ5 所有多项式扩张图类是否具有有界的渐近维数？

主要发现

• 排除 $K_{3,p}$ 作为子式的图类的渐近维数至多为 2，这意味着所有可嵌入任意固定曲面的图的渐近维数均为 2。
• 有界路径宽图的渐近维数至多为 1，有界分层路径宽图的渐近维数至多为 2。
• 可嵌入固定曲面的所有图类的渐近维数为 2，证实了 Fujiwara 与 Papasoglu 最近的猜想。
• 任何有界度图的真子式封闭类的渐近维数至多为 2，将 3-着色结果推广至大尺度几何。
• 多项式增长图具有有界的渐近维数，且该图类具有次线性分离器，与粗几何中的已知结果相联系。
• 本文通过基于弱直径分解的统一框架，解决了多个开放问题，包括 $K_t$-子式自由图与 $q$-肥 $K_t$-子式自由图的渐近维数。